10.Понятие вариации признаков, показатели вариации. Значение и задачи изучения вариации.
Вариация — это изменение значений признака при переходе от одной единицы совокупности к другой.
Эта категория занимает особое место в статистической науке, ибо именно наличие вариации единиц совокупности предопределяет необходимость статистики. Если бы отдельные единицы совокупности имели они и те же значения признаков (например, рост, возраст у всех живущих людей был бы одинаковый), то для изучения данной совокупности по этим признакам достаточно было бы изучить только одну единицу совокупности. Однако зачастую значения признаков колеблются, изменяются при переходе от одной единицы к другой. Как правило, вариация является порождением следующих причин:
своеобразие условий, в которых происходит развитие отдельных единиц совокупности;
неравномерность развития отдельных единиц.
Вариация существует во времени и в пространстве. Под вариацией в пространстве понимается колеблемость значений признака по отдельным территориям (урожайность пшеницы в разных регионах).
Под вариацией во времени подразумевается объективное изменение значений признака в разные периоды (или моменты). Например, со временем изменяется средняя продолжительность предстоящей жизни, доходность предприятий отрасли, уровень потребностей людей и т.д.
Изучение вариации имеет важное значение, так как вариация характеризует степень однородности совокупности. Однородность совокупности — необходимое условие при расчете большинства статистических показателей, в частности средних величин.
Показатели вариации являются необходимым дополнением при расчете средних величин, так как определяют степень однородности совокупности.
Система показателей вариации включает следующее:
размах вариации;
среднее абсолютное (линейное) отклонение;
среднее квадратическое отклонение;
дисперсия;
коэффициент вариации.
Значение показателей вариации:
характеризуются размеры вариации признака;
показатели вариации дополняют систему средних величин, в которой затушевываются индивидуальные различия;
показатели вариации позволяют охарактеризовать уровень однородности совокупности;
с помощью показателей вариации, путем сравнения вариации у отдельных признаков (разных), есть возможность измерить взаимосвязь между этими признаками.
Первый показатель, так называемый размах вариации, — наиболее простой из показателей, характеризует абсолютные размеры изменения признака и определяется как разница максимального и минимального значений признака:
Несмотря на простоту расчета, этот показатель имеет важный недостаток — учитывает только два приграничных значения. В случае аномальности одного или двух приграничных значений, он может исказить действительную вариацию совокупности.
Для того чтобы избавиться от этого недостатка, рассчитывают отклонение каждой индивидуальной величины от средней по совокупности. Таким образом, учитывается значение каждой единицы совокупности. Для того чтобы охарактеризовать это отклонение одним числом, рассчитывают среднюю из этих значений. Данный показатель носит название среднее абсолютное (линейное) отклонение и определяется следующим образом:
-
— простой вид;
— взвешенный вид (для сгруппированных данных);
где
-
d(L)
— среднее абсолютное (линейное) отклонение;
x
— индивидуальное значение признака (варианта);
— среднее из значений признака;
n
— численность совокупности;
f
— частота.
Среднее линейное отклонение характеризует средний размер отклонений индивидуальных значений признака от средней величины. Таким образом, он характеризует абсолютные размеры вариации, имеет те же единицы измерения, что и признак, вариацию которого характеризует.
Недостаток: ввиду того, что применяется модуль, затруднено проведение математических операций. Поэтому он применяется редко.
Для того чтобы избавиться от недостатка предыдущего показателя, разницу между индивидуальным значением и средней возведем в квадрат и затем извлечем корень квадратный из полученного среднего значения. Полученный показатель будет называться среднее квадратическое отклонение:
-
— простая;
— взвешенная
Играет ту же роль, что и среднее абсолютное отклонение, но, имеет перед ним одно преимущество, а именно, с ним проще проводить математические операции. Ввиду этого в 90 случаях из 100 используется этот показатель.
Еще более удобный для математических преобразований показатель вариации — дисперсия, который представляет собой среднее квадратическое отклонение в квадрате:
-
— простая;
— взвешенная
С помощью дисперсии и среднего квадратического отклонения измеряются взаимосвязи между различными признаками. Кроме того, по этим показателям можно сравнивать совокупности в смысле их однородности по одинаковым признакам.
Вывод об однородности совокупности позволяет сделать коэффициент вариации, который может быть рассчитан несколькими способами в зависимости от исходной информации:
— характеризует
средний процент отклонений индивидуальных
значений признака от средней величины.
где
-
V
— коэффициент вариации;
— среднее квадратическое отклонение;
d(L)
— среднее линейное отклонение;
xМО
— мода (структурная средняя);
xМЕ
— медиана (структурная средняя).
Коэффициент вариации имеет большое значение. Он позволяет сравнивать уровень вариации по различным признакам и используется для характеристики однородности совокупности. Если коэффициенты вариации меньше 33%, то совокупность однородна.
Расчет показателей вариации — достаточно трудоемкий процесс. В некоторых случаях, когда имеется ряд показателей с равноотстоящими моментами времени или равноинтервальный ряд распределения, расчет может быть упрощен. Сокращенные способы расчета дисперсии базируются на знании свойств дисперсии.
Свойства дисперсии:
если от всех значений варианты x отнять (прибавить) постоянное число А, то дисперсия не изменится;
если каждое значение варианты разделить (умножить) на постоянную величину k, то дисперсия уменьшится (увеличится) в k2 раз.