13.Обратный лин. Оператор его матрица

Единичный (тождественный) оператор I действует по правилу I(x) = x ∀x ∈ V.

Л.О.(Лин.Оператор) f⁻¹ называется обратным по отношению к Л.О. f, если =f* =I (или можно Е).

Теорема: для существования обратного оператора f необходимо и достаточно, чтобы f был взаимооднозначен.

Теорема: если А — матрица линейного оператора в некотором базисе, то — матрица обратного оперетора в том же базисе.

14.Собственные векторы л.О., собств. Значения, характерист. Уравнение.

Пусть f:V_n->V_n .

Опр. Ненулевой вектор х Vn наз-ся собственным вектором оператора f, если fx=λx(1), где λ–некоторое число (λ P), то λ наз-ся собственным значением.

Св-ва:1)Всякому собств. вектору отвечает одно собств. значение.

2)Собств. векторы, отвечающие собственным значениям — лин. независимы.

3)Мн-во всех собств. векторов, отвечающих одному собств. значению, дополненное нулевым вектором, образует лин-ые подпространства пространства Z_n.  Если в некотором базисе оператор f  имеет матрицу А и в том же базисе вектор x имеет коорд. столбец X, то AX= λX или (A- λE)X=0. Можно записать в матричной форме: AX- λX, где X- матрица-столбец из коорд. вектора x.

Характ-им многочленом  оператора  f:V_n->V_n  называется характеристический многочлен (x_f (λ)=det(λE-A_f)) его матрицы в некотором базисе. Характ-кий мн-н лин. оператора f не зависит от выбора базиса, в котором представлена его матрица. Уравнение X_f(λ)=0  называется характ-ким уравнением оператора f. Хар. ур-ние: (-1)ⁿλⁿ+a_n-1λ^n-1+…+a₁λ+ a₀=0 - Многочлен в левой части уравнения называется характ-ким мн-м. Характ. многочлен явл-ся многочленом n-ой степени. Теорема. Подобные матрицы имеют один и тот же характ. многочлен.

15.Правило нахождения собств. Векторов и собств. Значений

Выберем некоторый базис e₁,e₂,e₃,…,e_n (1), тогда в этом базисе оператор f будет иметь некоторую матрицу А, и Х–координатный столбец вектора. Тот факт, что х–собств. значения, а –собств. вектор оператора f, то АХ= λХ; (А– λE)X=0 (2). Система (2)–система линейных однородных уравнений. Det(A– λE)=0 (3). Решив ур-ние (3), получим характерист. числа матрицы А. Для нахождения собств. векторов, решим систему: (A- λE)X=0 .

16 Модель бездефецитной торговли

Пусть n стран торгуют между собой. Обозначим через нац-ный доход i-той страны; – это часть нац. дохода, которую j-тая страна тратит на закупку товаров из i-той страны. + + … + =

= - это доля нац. дохода j-той страны, кот-я тратится на закупку товаров в i-той стране. = 1

C элементами составим матрицу:А = – структурная матрица международной торговли

Сумма элементов по столбцам равна 1

Сумма элементов по строкам: + + … + = – все то, что покупают у i-той страны => выручка i-той страны в этой торговле.

. не может быть больше, чем (доход)

=> АХ = Х Х =

Для бездефицитности торговли нац. доходы стран должны быть коорд-ми собственного вектора структурной матрицы с собственным значением