33. Разложение произвольного линейного оператора в произведение самосопряженного оператора и изометрии.

34. Билинейная форма, ее матрица, изменение матрицы билинейной формы при изменении базиса.

Опр1. Говорят, что в линейн. простр. L над полем R задана билинейн. форма, если любой паре х,у € L поставл. в соотв число по некоторому правилу, т.е. задана ф-ция В(х,у) двух векторных аргументов, котор. удовл. след. требованиям:

1. Для любых x,y,z € L, B(x+y,z)=B(x,z)+B(y,z)

2. Для любых x,y,z € L , B(x,y+z)=B(x,y)+B(x,z)

3. Для любых x,y € L, λ€R, B(λx,y)=λB(x,y)

Выберем некоторый базис е₁…е_n (1) Возьмем 2 произв.вектора x= ∑β_ie_i, y=∑β_je_j. Тогда матрица билинейной формы B=[b_ij], где b_ij=(e_i∙e_j). Если ввести корд. столбцы X,Y, то билинейная форма B(x,y) в базисе(1) может быть записана:B(x,y)=X^TBY(2).

Лемма: Если X^TBY=0 для любых столбцов X и Y, то В – нулевая матрица.

Пусть дан еще один базис е’₁…е’_n(3). Т - матрица перехода от базиса(1) к базису(3). Пусть В’ – матрица билинейной формы в базисе(3). Тогда В’=Т^ТВТ(4).

Т1. При переходе к новому базису матрица билинейной формы преобразуется по формуле(4). Матрицы билинейных форм в различных базисах конгруэнтны, если они связаны соотношением(4), глее Т- невырожд. матрица

Опр2.Билинейная форма назыв. симметричной, если B(x,y)=B(y,x).

Т2. Матрица симметричной билинейной формы в любом базисе симметричная.

∆bij=B(ei,ej)=B(ej,ei)=bji □

Примером симметричной билинейной формы является скалярное произведение.

35. Квадратичная форма и ее матричная запись.

Опр.1 Квадратичной формой К(х) называется ф-ция одной векторной переменной х€L, которая равняется К(х)=В(х,х), где В – некоторая билинейная симметричная форма.

Билинейная форма В(х,у) на основании которой построена квадратичная форма называется соответствующей билинейной формой. По квадратичной форме однозначно определяется соответствующая билинейная форма. В(х,у)=1/2*(К(х+у)-К(х)-К(у)

Опр.2 Матрицей квадратичной формы в заданном базисе е₁…е_n называют матрицу соответствующей билинейной формы в этом же базисе. B=[b_ij], где b_ij=(e_i∙e_j).

K(x) =

X – координатный столбец вектора х в том же базисе, где задана матрица квадратичной формы.

Также как и для билинейной формы, при переходе к другому базису матрица квадратичной формы преобразуется в конгруэнтную ей.

Рангом квадратичной формы называется ранг ее матрицы. Ранг матрицы квадратичной формы не зависит от базиса. Пусть rankB=r, в новом базисе В’=Т^ТВТ, rank В’ = rank Т^ТВТ=min{rankT, rankB}=r

36. Изменение матрицы квадратичной формы при линейной замене переменных, канонический вид квадратичной формы.

При переходе к новому базису матрица квадратичной формы изменяется по принципу В’=T^TBT. (где Т-матрица перехода от базиса е₁…e_n, к базису e₁’…e_n’.

Будем говорить, что квадратичная форма имеет канонический вид, если ее матрица – диагональная(bij=0). Нормальной формой квадратичной формы называют такой ее канонический элемент, в котором ненулевые элементы ее матрицы =±1

Теорема Лагранжа: Всякую квадратичную форму заменой переменных можно привести к каноническому(нормальному виду). Существует следующее правило выбора замены переменных для квадратичной формы: