1. Относительная частота событий и статистическое определение вероятности

Пусть проведена серия из n испытаний при одних и тех же условиях. При этом фиксируется появление события А, и пусть событие А произошло m раз.

Число m называется частотой наступления события А,

где 0 ≤ m ≤ n.

Относительной частотой называется отношение числа испытаний, где событие А произошло, к общему числу испытаний: W(A) =m/n.

Если проводить опыты с большим числом испытаний при одинаковых условиях, то во многих случаях относительная частота будет мало меняться.

Этот факт (статистическая устойчивость) проверен многократно в различных экспериментах.

исло, около которого группируются относительные частоты при увеличении числа испытаний, называется статистической вероятностью рассматриваемого события: Р(А).

И относительная частота, и статистическая вероятность обладают следующими свойствами:

0 ≤ Р(А) ≤ 1, т.к. Р(А) = m/n, где 0 ≤ m ≤ n
Вероятность достоверного события равна 1 или Р(Ω) = 1, т.к. m = n
Вероятность невозможного события равна 0 или Р(Ø) = 0, т.к. m = 0
Вероятность суммы равна сумме вероятностей, если только А и В несовместны: , если (АВ = Ø)

2. Классическое определение вероятности

обытие называется благоприятствующим событию А, если появление этого события повлечёт появление события А.

Пусть пространство элементарных событий Ω:

Состоит из конечного числа элементов
Элементарные исходы ω₁, ω₂, … и т.д. равновозможны (т.е. нет оснований считать, что одно происходит чаще другого)

ероятностью события А называется отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных исходов:

где m – число благоприятных исходов, n – общее число исходов.

Свойства, которыми обладает статистическая вероятность, справедливы и для классического определения вероятности.

Минусы: пространство событий должно быть конечномерным, а также очень сложно определить равновозможность исходов.

3. Геометрическое определение вероятности

Если число равновозможных исходов бесконечно и несчетно, то используется геометрическое определение вероятности.

усть каждый результат испытаний определяется случайным положением точки в некоторой области Ω (отрезок, фигура на плоскости или тело в пространстве, мера которой будет μ (Ω)). Мера области – длина отрезка, площадь области или объем тела. Наступлению события А благоприятствует попадание точки в область А Ω.

Тогда геометрическая вероятность будет вычисляться следующим образом:

Таким образом, по геометрическому определению, вероятность находится как отношение мер.

Свойства, которыми обладает статистическая вероятность, справедливы и для геометрического определения вероятности.

П ример 2: Два друга договорились встретиться в парке. Встреча должна произойти в течении часа (промежуток времени от 0 до 1). Пришедший первым ждёт второго максимум 15 минут, потом уходит. Какова вероятность встречи двух друзей?

Элементарный исход в том, что один появляется в момент Х, другой – У. Область возможных положений точек х, у будут точки квадрата: 0≤ х ≤ 1; 0 ≤у ≤ 1.