3. Аксиоматическое определение вероятности

Существует огромный класс событий, не обладающих симметрией исходных событий, следовательно, по классической схеме их вероятность вычислить нельзя.

Поэтому и используется аксиоматический теоретико-множественный подход.

Рассматривается пространство исходов Ω, в котором исходу из множества (А Ω), соответствующему некоторому событию А, ставится в соответствие вероятность события Р (А). Это число должно удовлетворять нескольким аксиомам.

Лекция 2

Замечание:

Е

О

сли Ω – пространство элементарных событий, а S – некоторый класс подмножеств множества Ω, то совокупность S называется алгеброй случайных событий, если для неё выполнены условия:

1. ;

2. если события и , следовательно ;

3. если события и , следовательно ;

4. если события следовательно .

Алгебра событий S замкнута относительно операций сложения, умножения.

Если же алгебра замкнута относительно бесконечных пересечений и объединений, то она называется σ-алгеброй событий S (сигма).

В

О

ероятность – вещественная функция Р(А), определённая для каждого события алгебры S и удовлетворяющая следующим аксиомам:

1. Неотрицательность: Р(А)≥0.

2. Нормировка: Р(Ω) = 1.

3. Аддитивность: вероятность от суммы попарно несовместных событий равна сумме их вероятностей: , где при (т.е. попарно несовместные).

Замечание: Последнее свойство распространяется на случаи бесконечного числа событий.

В случае если множество Ω содержит n элементов, то число всех подмножеств равно 2ⁿ является алгеброй случайных событий S. Каждый элемент алгебры, т.е. все подмножества из этих 2ⁿ подмножеств есть случайное событие.

П ример 1: Пусть Ω содержит 3 элементарных исхода.

_, т.е. n = 3, значит 2ⁿ = 2³=8 – число всех подмножеств множества Ω.

Можно установить взаимнооднозначные соответствия между элементами алгебры S и последовательностями из 0 и 1 по правилу: элемент с номером k из множества Ω включается в подмножество, соответствующее данной последовательности из 0 и 1, если на некотором месте последовательности стоит 1.

Число последовательности из 0 и 1 длины N равно λ^N, т.е.:

Т

О

ройку , которая вводится при формализации вероятностной задачи, называется вероятностным пространством.

Следствия:

1. Вероятность от невозможного события равняется нулю:

Доказательство: и т.к. (несовместны), то по 3 аксиоме

Приравняем правые части: , ч.т.д.

2. Вероятность от противоположного события равна

Доказательство: – достоверное событие

По 3 аксиоме:

(по аксиоме 2)

Приравняем правые части:

, ч.т.д.

3. 0 ≤ Р(А) ≤ 1

Доказательство: – по аксиоме I

Из свойства 2: , а т.к. вероятность события ≥ 0, то: , ч.т.д.

4. Если А В, то

Доказательство:

Запишем событие В, как объединение двух несовместных событий:

, тогда по 3 аксиоме , т.к. , следовательно , ч.т.д.

5. Обобщённая теорема сложения.

П

Т

усть А и В совместны, т.е. А∩В ≠ Ø

Тогда вероятность от суммы:

Доказательство:

Сумму (А+В) представим, как объединение несовместных событий:

И событие А тоже:

По 3 аксиоме:

Если (несовместные), то

Формула из 5 пункта распространяется на любое конечное число событий.

Докажем, что , где А, В, С – совместные события.

Доказательство: По обобщённой теории сложения вероятностей и по аксиоме III:

ч.т.д.

П ример 2:

1. В колоде 36 карт. Козырь объявлен. Какова вероятность того, что вынутая карта будет козырем или тузом?

Событие А - вынут козырь, событие В – вынут туз. События А и В совместны.

2. В урне 3 шара – 2 белых и один черный. Подряд вынимают 2 шара.

Достают 2 белых шара – событие А, 1 белый и 1 черный – событие B.

Занумеруем все шары:

Белые – 1, 2; черный – 3

При вынимании 2 шаров: по классическому определению:

по классическому определению:

§ Основные соединения в комбинаторике

1. число размещений из n по m;

2. число размещений с повторениями из n элементов по m;

3. число перестановок ;

4. число перестановок с повторениями;

5. число сочетаний элементов из n по k;

, если n₁=k, n₂=n-k

§ Условная вероятность

В

О

ероятность события А, найденная при условии осуществления события В, называется условная вероятность:

, найденная без каких-либо событий – безусловная.

характеризует зависимость события А от В.

По классическому определению:

Пусть проведено n испытаний, событию А благоприятствует m испытаний, событию В – k-случаев, следовательно это безусловная вероятность.

, . А благоприятствуют одновременному появлению событий А и В – r случаев:

Если событие В произошло, то для события А общее число возможных случаев сокращается до k раз. Из них благоприятствует событию А r-случаев:

Замечание: при аксиоматическом определении вероятности формула принимается за определение условной вероятности.

§ Теорема умножения вероятности

В

Т

ероятность произведения двух любых событий равна произведению одного из них на условную вероятность второго при условии, что первое произошло:

П ример 3: В урне 5 шаров: 3 белых и 2 черных.2 шара вынимают последовательно. Найти вероятность того, что оба шара белых.

Событие А: в первый раз вытащили белый шар.

Событие В: во второй раз вытащили белый шар.

Лекция 3

§ Теорема умножения вероятностей для n любых событий

Т

Вероятность совместного появления n любых событий равна вероятности первого события умноженного на условную вероятность остальных.

(4)

Доказательство:

Последовательно будем применять формулу (3) для двух событий. Выделим A_n , а остальные будем рассматривать как одни элемент.

Далее к части тоже применим формулу (3) и получим:

(и так далее последовательно до) = Ч.Т.Д.

П ример 1: Общество из 5 мужчин и 10 женщин разбивают случайным образом на 5 групп по 3 человека. Какова вероятность того, что в каждой группе будет по одному мужчине.

Событие А – в каждой группе по одному мужчине.

А_i , где i от 1 до 5 – в i группе только 1 мужчина

Тогда

Где вероятность события А₁ будет равна: , где - число благоприятных исходов, а - число всех исходов.

, , ,

Каждую дробь преобразуем в общем виде:

, где , ,

§ Независимость событий

С

О

обытие А называется независимым от события В если осуществившееся событие В не изменяет вероятности появление события А, то есть условная и безусловная вероятности события А совпадают. (5)

Е

Т

сли событие А не зависит от события В от и событие В не зависит от события А.

Доказательство:

Необходимо доказать, что .

Воспользуемся аксиоматическим определением вероятности:

С

О

обытия называются взаимно (попарно) независимыми, если появление одного не изменяет вероятности появления другого.

(

Т

Об умножении вероятностей для двух взаимно независимых событий)

Вероятность произведения двух взаимно независимых событий равна произведению их вероятностей: (6)

Доказательство из формулы (4):

П ример 2: Два реле работают независимо и обеспечивают бесперебойную работу оборудования при скачках напряжения. Вероятность несрабатывания одного реле р = 0,01. Какова вероятность того, что не сработают оба реле?

Событие А – несрабатывание обоих реле, события А₁ и А₂ попарно независимы:

Замечание: Независимые и несовместные события это разные понятия:

Несовместные - Независимые -

П ример 3: Два орудия стреляют одновременно по одной цели. Вероятность попадания в цель первым орудием равна р₁ = 0,8, а вторым – р₂ = 0,9. Какова вероятность того, что цель будет поражена?

Событие А – попадание 1 орудия

Событие В – попадание 2 орудия

Эти события совместные, но независимые.

§ Независимые в совокупности события

С

О

обытия А₁, А₂, … , A_n называются независимыми в совокупности если каждое из них не зависит от произведения любого числа остальных:

1. Попарно независимые:

2. Любое событие А_к не зависит от любых комбинаций пересечений оставшихся событий.

Для независимых в совокупности событий справедлива следующая теорема:

В

Т

ероятность произведения n независимых в совокупности событий равна произведению их вероятностей:

Эта теорема будет также являться необходимым условием взаимной независимости n событий, но обратное будет неверно для n > 2

§ Необходимое и достаточное условие взаимной

независимости n событий

Д

О

ля того, чтобы n событий были взаимно независимыми необходимо и достаточно:

1) , где

2) , где

3)

Е

Т

сли среди взаимно независимых событий заменить любое число событий их дополнениями, то получим опять взаимно независимые события.

П ример 4: Вероятность наступления события А равна р = 0,2. Опыты независимо проводятся до наступления события А. Какова вероятность того, что придется проводить 4 опыта, то есть в первых трех опытах событие не произошло?

, где k = 1, 2, 3, 4

- событие не произошло, эти события взаимно независимые.

§ Вероятность наступления хотя бы одного из независимых в совокупности событий

В

Т

ероятность наступления хотя бы одного из независимых в совокупности событий находится через теорему сложения для n взаимно независимых событий:

Пусть А₁, А₂, А₃, …, А_n – независимые в совокупности события.

Событие А – появление хотя бы одного из событий А_k .

Вероятность наступления события А вычисляется по формуле:

Доказательство:

Пусть событие

События А и В несовместные и образуют полную группу событий.

Пример 5: Произвели три выстрела по мишени. Вероятность каждого выстрела

р₁ = 0,6 , р₂ = 0,7, р₃ = 0,8 соответственно. Какова вероятность хотя бы одного попадания?

Пусть событие А – хотя бы одно попадание

С обытие А_i – цель поражена при i выстреле

- вероятность того, что цель не поражена при i выстреле

Лекция 4

§ Формула полной вероятности

Е

Т

сли событие А реализуется при осуществлении одного из событий

Н₁, Н₂, …Н_n (или гипотез), которые образуют полную группу событий

(т.е.: 1. и 2. ), то вероятность наступления события А равна сумме произведений вероятностей гипотез на соответствующую условную вероятность события А: - ФПВ

Доказательство:

Так как Н₁, Н₂, …Н_n образуют полную группу событий, то событие А можно представить как пересечение n несовместных событий:

По III аксиоме Теории Вероятностей (вероятность суммы независимых событий равна сумме их вероятностей):

и по Теореме произведения вероятностей зависимых событий (Н_k и А – в свою очередь зависимые события):

ч.т.д.

К формуле полной вероятности (ФПВ) применимо контрольное равенство:

Пример 1: По каналам связи передается одна из последовательностей:

с соответствующими вероятностями p₁, p₂ и p₃;

Каждая принимаемая буква принимается с вероятностями: α – за правильную, и – за неправильные. Предполагается, что буквы искажаются независимо друг от друга.

Задание: 1. Какова вероятность того, что принята комбинация АВСА при условии передачи комбинации АААА?

2. Какова вероятность того, что принята комбинация АААА при условии передачи комбинации АВСА?

Решение:

1. Пусть событие символизирует то, что принята комбинация АВСА, тогда гипотезы:

Н₁ – передана комбинация АААА

Н₂ – передана комбинация ВВВВ

Н₃ – передана комбинация СССС, и:

Найдем условную вероятность события при условии Н₁:

Найдем условную вероятность события при условии Н₂:

Найдем условную вероятность события при условии Н₃:

Т еперь подсчитаем вероятность события по ФПВ:

При решении второго задания нам придется применить формулу Байеса:

При выводе формулы Байеса сохраняются все предположения, принятые при выводе ФПВ и ставятся дополнительные условия: при проведении опыта событие А уже произошло. Это позволяет переоценить первоначальные вероятности гипотез:

P(Н₁), P(Н₂) и P(Н_n) – априорные, т.е. доопытные вероятности.

Проводят испытание в отношении события А, которое может произойти лишь при осуществлении одной из гипотез. После того, как событие А произошло, можно уточнить (произвести переоценку) априорных вероятностей, т.е. вычислить вероятности – такие вероятности будут называться апостериорными.

Для условных вероятностей используется формула:

и заменяем в формуле P(А) на ФПВ, а в числителе получаем произведение зависимых событий - Формула Байеса

П ример 1: продолжение

П ример 2:

В тире находятся 7 ружей: 2 – с оптическими прицелами, 5 – без. Вероятность попадания в цель из оптического орудия равна 0,9. Из неоптического – 0,4.

Задание: какова вероятность того, что стреляли из оптического орудия, при условии, что цель поражена?

Решение:

Пусть событие А символизирует поражение цели, тогда гипотезы – Н₁ и Н₂ – будут означать соответственно выстрел из оптического ружья и ружья без оптического прицела.

Таким образом, вероятности выстрела (конкретно в этом тире) из оптического ружья P(Н₁) = 2/7 и выстрела из ружья без оптического прицела P(Н₂) = 5/7 – из условия.

P(А/Н₁) = 0,9 и P(А/Н₂) = 0,4

Итак, оказывается вероятность попадания в цель из ружья без оптического прицела оказалась больше вероятности поражения цели из оптического.

§ Сложные испытания. Испытания по схеме Бернулли

Пусть проведено n испытаний по событию А. Совокупность таких экспериментов будем обозначать так: и называть “сложным испытанием” или “композицией испытаний”.

В результате каждого простого испытания T_i , 1 ≤ i ≤ n, может произойти 2 случая: событие А_i произошло или не произошло, а т.е. произошло событие Ā_i

Пусть проводится сложное испытание из n независимых в совокупности испытаний, в каждом из которых лишь 2 исхода: А_i – успех, Ā_i – неудача, при условии, что в каждом испытании вероятность успеха – это постоянная величина и неудачи .

Т

О

акая схема независимых испытаний с двумя исходами с постоянными вероятностями называется схемой Бернулли.

Т

Т

еорема Бернулли: Если по отношению к событию А проведено n испытаний по схеме Бернулли, то вероятность наступления события А ровно k раз вычисляется по следующей формуле:

, где 0 ≤ k ≤ n , - Биномиальный коэффициент, а

Вероятность P_n(k) называется биноминальной, т.к. это член разложения бинома Ньютона: , 0 ≤ k ≤ n

Доказательство: Для n=3

Возможны следующие реализации появления события А в трех испытаниях: А₁, А₂ и А₃ и тогда эти 3 независимые испытания можно представить в виде:

А₁ Ā₂ Ā_{3 ,} Ā₁ А₂ Ā₃ и Ā₁ Ā₂ А₃ ; количество таких реализаций, соответственно 3:

Тогда вероятность наступления события А в трех испытаниях 1 раз будет высчитываться так: Ч.Т.Д.

П ример 3: Проведено 3 выстрела по мишени. Вероятность попадания в цель равна 0,4.За каждое попадание в цель стрелку присуждается 5 очков.

Задание: Какова вероятность того, что стрелок получит 10 очков после трех выстрелов?

Решение: n = 3, k = 2

Некоторые частные случаи формулы Бернулли

1. – событие не произойдет

2. – событие произойдет n раз

3. – событие произойдет 1 раз

4. – событие произойдет хотя бы 1 раз

5. – событие произойдет не менее r раз, но не более m раз.

Обобщение формулы Бернулли

Е

О

сли в каждом из n независимых испытаний может наступить r исходов (1, 2, 3, ... r), то последовательность этих испытаний называется полиномиальной схемой.

Вероятность того, что в испытаниях такой полиномиальной схемы исход “1” наступит m₁ раз, исход “2” – m₂ раза, а исход “r” – m_r раз высчитывается по формуле: , где Р_k , (1≤ k ≤ r) – вероятность исхода k, а также , (1≤ i ≤ r)

П ример 4: Найти вероятность следующего события: среди 20 случайных чисел имеется ровно 10 четных, две тройки, три семерки и 5 любых других.

Решение: – композиция испытаний Т_i – 4 исхода:

1. 10 четных чисел

2. 2 тройки

3. 3 семерки

4. 5 любых других чисел

р₁ = 5/10, р₂ = 1/10, р₃ = 1/10, р₄ = 3/10

Лекция 5

§ Асимптотическая формула Пуассона

Е

О

сли количество испытаний велико, т.е. n стремится к бесконечности, а вероятность наступления события меньше одной десятой p < 0.1, np < 10,

npq < 9, можно использовать асимптотическую формулу Пуассона:

, где - среднее число успехов при

Данная формула дает приближенный результат.

Доказательство: Из условия , а Подставим эти значения в формулу Бернулли:

Перейдем к пределу Ч.Т.Д.

П ример 1: При доставке 5000 изделий вероятность их повреждения равна .

Задание: Найти вероятность того, что будет повреждено: 1. 3 изделия

2. Не более одного изделия

Решение: 1.

2.

§ Асимптотическая формула Муавра-Лапласа

Локальная теорема Муавра-Лапласа

Асимптотическая формула обеспечивает достаточную точность (т.е. имеет малую погрешность) и применяется при больших m и n.

Т

Если при n независимых испытаниях выполняется неравенство , где m – число успехов; np – среднее число успехов, а

α и β – const,

то справедлива следующая формула: , где - центрированная и нормированная величина.

Эта формула дает достоверный результат при n > 100 и npq > 10

Алгоритм использования формулы:

1. Вычисляется число

2. Обозначается за

3. По таблицам вычисляется функция

4. Считается

Интегральная теорема Муавра-Лапласа и следующая из нее асимптотическая формула

Е

Т

сли производится n испытаний по схеме Бернулли и в каждом испытании вероятность события А равна p=1-q, то имеет место следующая приближенная формула: , где m(A) – число успехов, появление события А m раз.

Решим неравенство относительно m(A):

Разделим это неравенство на n и получим:

, где - относительная частота появления события А.

Вероятность того, что событие А появится от раз до раз будет вычисляться по формуле:

(1)

П ример 2: Испытание проводится 20 раз (n=20), вероятность наступления события А равна p=0.5.

Задание: Найти вероятность того, что событие А появилось от 7 до 9 раз.

Решение: Сначала найдем эту вероятность по теореме Бернулли:

Теперь посчитаем эту же вероятность по интегральной теореме Муавра-Лапласа:

Затем мы можем найти погрешность вычислений асимптотической формулы Муавра-Лапласа: Абсолютная погрешность =

Относительная погрешность =

§ Функция Лапласа и ее основные свойства. Интеграл Лапласа

Ф

О

ункция Лапласа задается интегралом: - функция верхнего предела.

Свойства функции Лапласа

1. Функция Лапласа – это функция нечетная:

2. График функции симметричен относительно начала координат

3. Функция Лапласа – возрастающая.

- интеграл Пуассона на бесконечности равен 1/2.

Применение функции Лапласа для вычисления интеграла :

Рассмотрим отрезок с положительными числами α и β:

функция Лапласа от β примет следующий вид:

, где

Частный случай Функции Лапласа

Пусть α = - t, a β = t или |α| = |β|

Разделим на n:

Вычтем p:

И получаем:

(по свойству 1)

Лекция 6

§ Случайные величины. Основные понятия и определения

Рассмотрим пространство элементарных событий Ω. В этом пространстве задаётся некоторая область и в ней числовая функция, определённая на этом пространстве, которая в результате испытания примет единственное возможное значение Х(ω_i) – случайная величина. , где x_i – число.

А тот факт, что случайная величина примет какое-то конкретное значение будет случайным событием.

П ример 1: Ига в кости: при бросании игрального кубика возможно 6 элементарных исходов: ω₁, ω₂, …,ω₆ . Тогда Х(ω_i) – число очков, выпавших на верхних гранях при бросании кубиков.

Х(ω_i) = i 1 ≤ i ≤ 6

Случайные величины обозначаются х, y, z...а их значения – x_i, y_i, z_i …

Р

О

ассматривается пространство элементарных событий Ω: случайной величиной Х называется функция, заданная на пространстве Ω и принимающая определенные вещественные значения:

, ;

При этом предполагается, что все события вида:

1. , где S – алгебра событий.

Т.е. для всех этих событий определены их вероятности.

Аналогично для событий видов:

2.

3.

Случайная величина характеризуется значениями, которые она принимает и вероятностями, с которыми эти значения появляются. Нельзя заранее предсказать какое из своих возможных значений примет случайная величина, известны лишь вероятности, с которыми эти значения появляются.

В отличие от детерминированного подхода, устанавливающего жёсткую функциональную связь между аргументом и функцией, для случайной величины можно указать, априорно - до опыта - лишь вероятности попадания случайной величины в некоторые случайные числовые множества. Можем посчитать вероятности: , , , где x, a, b – числа.

Различают случайные величины дискретного вида (ДСB) и непрерывного вида (НСB).

Д

О

СB – случайная величина, принимающая отдельные изолированные значения с определённой вероятностью.

НСB – случайная величина, возможное значение которой заполняют некоторый промежуток.

П ример 2: ДСB: количество звонков, поступивших на АТС в течение дня (т.е. 0, 1, 2,…х , где х – конечное или счетное число)

НСВ: время безотказной работы двигателя .

§ Интегральная функция распределения случайной величины

Эта функция является универсальной характеристикой как для ДCB, так и для НСВ.

Ф

О

ункцией распределения случайной величины X (обозначается F(x)) называется вероятность того события, что случайная величина X в результате испытания примет значение меньше, чем х:

Основные свойства функции распределения

1. 0 ≤ F(x) ≤ 1, т.к. 0 ≤ P ≤ 1 – из аксиомы I.

2. Приращение функции на промежутке - это вероятность того события, что значение случайной величины попадёт на интервал или на его левую границу.

Доказательство:

Пусть a < b; рассмотрим события:

По 3-й аксиоме:

- приращение функции на промежутке ч.т.д.

3. F(x) – неубывающая функция.

Для любого

Доказательство: (из 2 свойства) следовательно, по первому свойству ч.т.д.

4. 

Доказательство: Из определения:

5. Ф ункция распределения в точке своего возможного значения непрерывна слева и разрывна справа:

6. Для ДCB: вероятность того, что ДCB Х примет своё возможное значение х_к, т.е. , равна скачку функции распространения в этой точке:

Доказательство: По свойству «2»

Предположим, что правый конец b → а.

Пусть , тогда ч.т.д.

Вывод: график функции распределения ДCB Х есть ступенчатая фигура, расположенная в промежутке y=0 и y=1 (в точках х_k – делаются ступеньки из скачков).

7. (Дополнительное свойство)

Доказательство: , где ,

ч.т.д.

Пункты “3”,”4”,”6” – фундаментальные свойства F(x), т.е. если какая-нибудь функция G(x) удовлетворяет этим трем условиям, то она может считаться функцией распределения для какой-то случайной величины.

Рассмотрим случайную величину Х < x

, где x_m < х - несовместные события

тогда

П ример 3: Построить график функции распределения случайной величины X - число очков на верхней грани игрального кубика.

xi	1	2	3	4	5	6
pi	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6

1. x≤1

2. 1<x<2

3. 2<x<3

4. 3<x<4

5. 4<x<5

6. 5<x<6

7. x>6

Таким образом, для ДСВ кумулятивная функция.

Лекция 7

§ Законы распределения

Для ДСВ:

С

О

оотношение, устанавливающее в той или иной форме зависимость между возможными значениями СВ и их вероятностями, называются законами распределения ДСВ.

Законы распределения могут быть записаны в следующих формах:

1. В виде формулы:

Р_k = P(X = x_k) каждому значению x_k ставится соответствующая вероятность

2. В виде ряда распределения СВ – совокупности из пары чисел (x_i; p_i)

3. В виде таблицы значений и их вероятностей:

xi	x1	x2	x3	…
pi	p1	p2	p3	…

4. В виде графика – полигона (многоугольник распределения):

Для НСВ:

Н

О

СВ – случайные величины, возможные значения которых непрерывно заполняют некоторый промежуток вещественной оси. Перечислить все значения НСВ нельзя.

НСВ задается с помощью плотности распределения вероятности подобно плотности распределения массы тела.

Примеры НСВ: результаты измерения детали, время разговора по телефону, время безотказной работы двигателя и т.д.

С

О

лучайная величина Х называется непрерывной, если существует неотрицательная функция f(x) ≥ 0, называемая плотностью распределения вероятности, такая, что вероятность попадания случайной величины в отрезок [a; b] равна определенному интегралу от плотности по этому промежутку:

Замечания:

1. Для НСВ вероятность того, что случайная величина Х примет конкретное значение Х = с, равна нулю: .

Это совсем не значит, что событие невозможно, – просто вероятность этого события равна нулю.

2. Вероятность попадания НСВ Х на некоторый интервал не зависит от того, какой это интервал: закрытый, открытый или полуоткрытый:

т.к.

Свойства плотности распределения

1. Функция f(x) определена на всей числовой оси.

2. Функция f(x) неотрицательна f(x) ≥ 0

3. Для функции f(x) справедлива следующая теорема:

П

Т

усть Х – НСВ, а F(x) – её интегральная функция распределения, f(x) – её плотность распределения вероятности. Тогда для любого ; справедливо следующее равенство:

Изображая графически:

4. Нормировка:

Изображая графически:

5. F'(x) = f(x) – следует из свойства “3”

Также стоит отметить, что – следует из определения плотности распределения вероятности;

и

Плотность распределения f(x) иногда называют дифференцированным законом распределения, а F(x) – интегральным законом распределения.

§ Числовые характеристики случайных величин

Закон распределения плотности характеризует случайную величину (с точки зрения возможности расчета ее вероятности), но часто закон распределения неизвестен и приходится ограничиваться меньшими сведениями. Иногда даже выгоднее пользоваться числами, которые описывают случайные величины суммарно. Такие числа называются числовыми характеристиками случайной величины.

К важнейшим из низ относятся:

Математическое ожидание – М(X) – одна из основных характеристик положения случайной величины;

Дисперсия – D(X) – характеристика рассеяния случайной величины вокруг ее математического ожидания;

Среднеквадратичное отклонение – σ(X).

Вероятностный смысл математического ожидания

М

О

(X) – вероятностное обобщение понятия среднего арифметического. Пусть одно и то же испытание воспроизводится в неизменных условиях N раз, и при этом случайная величина m₁ раз принимает значение x₁, m₂ раз – значение x₂, …, m_n раз – значение x_n . Сумма m₁ + m₂ +…+ m_n= N. Найдем среднее арифметическое значений случайной величины:

При больших N частоты событий, состоящих в том, что случайная величина принимает значения x₁, x₂, …, x_n группируются около вероятностей p₁, p₂, …, p_n этих значений – это следует из статистического определения вероятности.

Следовательно, среднее арифметическое значение случайной величины при больших N будут группироваться около следующей величины:

, так как , , …, которая называется математическим ожиданием или средним значением случайной величины.

1. Пусть Х – ДСВ, принимающие значения x₁, x₂, …, x_n с вероятностями p₁, p₂,…, p_n. Тогда математическим ожиданием будет: , а если число n → ∞, то: (ряд абсолютно сходящийся).

2. Если Х – НСВ с плотностью распределения f(x), то: (интеграл несобственный).

Механический смысл математического ожидания

Пусть в точках x₁, x₂, …, x_n числовой оси сосредоточены массы p₁, p₂, …, p_n:

Тогда – есть абсцисса центра тяжести системы материальных точек.

Свойства математического ожидания

1. Математическое ожидание – это число;

2. Математическое ожидание от константы равно константе:

, в частности ;

3. , где С – константа, Х – случайная величина;

4. ;

5. , если Х и Y – независимые случайные величины.

Кроме математического ожидания, характеризующего расположение центра закона распределения (т.е. являющегося характеристикой положения), рассмотрим Моду – M₀, Медиану - M_e и Квантиль – Р или -процентная квартиль.

М

О

одой случайной величины Х называется наиболее вероятное ее значение для ДСВ, а если Х – НСВ, то мода – значение случайной величины, при которой f(x) максимальна. Графически:

ДСВ НСВ

M₀ = х₃ M₀ = х^*

Существуют распределения двух типов – полимодальные и антимодальные:

1. Для ДСВ:

- полимодальные - антимодальные

M₀ = х₂, M₀ = х₄, M₀ = х₆ моды нет

2. Для НСВ:

- полимодальные - антимодальные

M₀ = х₁, M₀ = х₂ моды нет

Понятие медианы, как правило, вводится для НСВ.

М

О

едиана M_e – это такое значение случайной величины, для которого выполняется следующее равенство:

Геометрический смысл: прямая Х = M_e делит площадь под кривой распределения пополам:

Для симметричного распределения Мода, Медиана и Математическое ожидание совпадают:

Пусть

Тогда график плотности f(x):

К

О

вантиль порядка p (0 ≤ p ≤ 1) – это значение абсциссы x_pi , при котором выполняется следующее равенство:

1. при p = 1/2 квантиль x_½ = M_e (пятидесяти процентная квантиль)

;

2. при p = 1/4 квантиль x_¼ = M_e (двадцати пяти процентная квантиль – нижняя квартиль);

3. при p = 3/4 квантиль x_¾ = M_e (семидесяти пяти процентная квантиль – верхняя квартиль);

4. - интерквантильный промежуток.

Специфические точки плотности и функции распределения

Формула для нахождения произвольной квантили:

Лекция 8

§ Начальный и центральный моменты

Н

О

ачальным моментом порядка S называется математическое ожидание S-ой степени случайной величины X:

Если X – ДСВ, то начальный момент вычисляется по формуле:

А для НСВ:

- Начальный момент порядка 1 равен математическому ожиданию СВ Х.

Ц

О

ентральным моментом порядка S называется математической ожидание S-ой степени центрированной случайной величины или математическое ожидание S-ой степени отклонения случайной величины от своего математического ожидания.

, где - центрированная СВ: - отклонение СВ от своего мат. ожидания.

Если Х – ДСВ, то центральный момент находится следующим образом:

;

Для НСВ -

- центральный момент порядка 2 есть дисперсия СВ Х.

§ Связь между начальным и центральным моментами

1. , т.к.

Доказательство (из определения).

2. , т.е.

Доказательство (на примере НСВ):

3.

§ Дисперсия и ее свойства

Д

О

исперсией случайной величины X называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от своего математического ожидания:

Вероятностный смысл дисперсии

Дисперсия характеризует разброс возможных значений СВ вокруг своего математического ожидания.

Чем меньше дисперсия, тем плотнее распределены значения СВ вокруг своего математического ожидания.

В финансовом анализе, если X – прибыль, то M(X) – возможная ожидаемая прибыль, а D(X) – риски. Чем меньше дисперсия, тем меньше риск.

Вычисление дисперсии

Для ДСВ:

Для НСВ:

Если СВ X имеет начальный (центральный) момент порядка k, то существуют все начальные (центральные) моменты порядка меньше чем k.

Механический смысл дисперсии

Если в точках x₁, x ₂,…, x_n вещественной оси сосредоточены массы p₁, p₂,…,p_n , то D(X) – есть момент инерции системы материальных точек относительно центра тяжести этой системы, т.е. относительно математического ожидания.

Замечание: Дисперсия есть величина не случайная, то есть константа.

П ример 1: Случайная величина принимает следующие значения

x	-0.01	0.01
p	0.5	0.5

x	-100	100
p	0.5	0.5

Вычислим математическое ожидание: Но значения СВ X в первом случае близки к своему ожиданию, а во втором очень далеки. Подсчитаем дисперсию:

Свойства дисперсии

1. (из определения)

2. , где с – const

Доказательство: , так как

3. Постоянный множитель можно вынести: , где k – const

Доказательство:

Замечание:

4. Если СВ X и Y независимы, то

Доказательство: Введем обозначения: M(X) = a M(Y) = b

Тогда по свойству математического ожидания . Из определения дисперсии получаем

ч.т.д.

Замечание: , так как

Если СВ X и Y зависимые, то , где - центральный смешанный момент порядка 1,1; ковариация

§ Среднее квадратическое отклонение

С

О

редним квадратическим отклонением СВ Х называется корень квадратный из дисперсии:

У среднего квадратического отклонения и дисперсии совпадают размерность, но среднее квадратическое отклонение удобнее использовать для сравнения.

§ Характеристики формы кривой распределения

Асимметрия и Эксцесс

А

О

симметрия A_s – числовая величина, характеризующая скошенность распределения по сравнению с нормальным распределением.

Если распределение симметрично относительно математического ожидания то все центральные моменты нечетного порядка равны 0. Если нет симметрии, то в качестве характеристики скошенности распределения целесообразно взять один из центральных моментов нечетного порядка.

Если распределение скошено вправо, то A_s<0 , влево - A_s>0

A_s=0:

A _s>0:

A_s<0:

Э

О

ксцесс E_k – характеризует островершинность или плосковершинность распределения:

Для нормального распределения A_s = 0 E_k = 0

П ример 2: Дана плотность распределения

Найти: а, M(X), D(X), Mo, Me, σ(X), A_s , E_k .

Решение: 1)

2)

3)

4) Mo=x₀ т.ч. f(x₀) – min антимодальное распределение

5) Me

6)

7)

8)

Лекция 9

§ Производящая функция

При помощи производящей функции можно находить моменты ДСВ с целыми неотрицательными значениями.

П

О

роизводящая функция для дискретного распределения, определяемого формулой , где k = 0,1,2…, называется сумма степенного ряда вида:

Коэффициентами которого являются вероятности данного закона распределения.

Х	0	1	2	К
р	Р0	Р1	Р2	рк

Дискретное распределение.

Коэффициенты: р₀ + р₁х + р₂х² +…+…

Пусть х = 1. По теореме Абеля ряд сходится в точке х = 1 и при том абсолютно для всех х, удовлетворяющих неравенству . Продифференцируем ряд почленно:

Вычислим при Х=1:

- это есть математическое ожидание или α₁

Тогда

§ Биномиальное распределение для ДСВ

Биномиальный закон распределения ДСВ:

В(n, p), где n и p – параметры этого закона

– натуральное число,

Д

О

СВ Х, принимающее конечное число целых неотрицательных значений распределена по биномиальному закону, если вероятность того, что СВ Х в n испытаниях появится ровно m раз вычисляется по формуле Бернулли:

, где m = 0, 1, 2,…, n

Х – СВ – число появления события А (успеха) с вероятностью p в схеме Бернулли в n независимых испытаний.

Биномиальный закон распределяется применяется когда СВ:

Х – число выпадения герба при n бросаниях и p = 1/2

Х – число вышедших из строя приборов в n испытаниях

Х – число попаданий в цель при n независимых выстрелов.

Построим производящую функцию для биномиального закона:

Сгруппируем х и р: - бином Ньютона для двух слагаемых.

Найдем математическое ожидание и дисперсию:

П ример 1: В боевой операции участвуют 50 самолётов; вероятность того, что самолет будет сбит р=0,06. Найти математическое ожидание и σ (X) числа сбитых самолётов. СВ Х – число сбитых самолетов, распределена по биномиальному закону, значит ,

П остроим график вероятности и функции распределения: n = 10 p = 0,25

- функция распределения

§ Закон распределения Пуассона

П(λ) предельное распределение для В (n, p)

λ – параметр распределения, λ > 0

Д

О

СВ Х распределена по закону Пуассона с параметром λ если вероятность того, что СВ X примет значение m находится по формуле: , где m = 0, 1, 2, 3…

Применяется если:

X – число атомов радиоактивного вещества, распавшихся за время Т;

Х – число заявок, поступивших за время Т в систему массового обслуживания;

Х – число опечаток в большом тексте.

Предполагается, что среднее значение СВ Х за время Т известно.

Составим производящую функцию для закона Пуассона:

Для закона Пуассона

Пример функции распределения по закону Пуассона

П ример 2: Карикатура в 500 страниц содержит 500 опечаток. Какова вероятность, что на странице не меньше 3-х опечаток?

Вероятность события, что на странице больше 3 опечаток есть биномиальная вероятность , т.е. 3 и более, при этом вероятность неизвестна, но можно посчитать, что среднее число опечаток на странице = 1, а среднее число в испытании по Пуассону np = 1 или λ = 1 следовательно p - мало, n – велико.

По формуле Пуассона:

§ Закон геометрического распределения

G(p),

Р

О

аспределение ДСВ Х называется геометрическим с параметром , если значение СВ Х – натуральные числа. а вероятность события (Х = n) вычисляется по формуле: , где n = 1, 2, 3… , а .

P_n – бесконечно убывающая геометрическая прогрессия со знаменателем q.

Производится ряд независимых испытаний до 1-го успеха (событие А). Предполагается, что в испытании вероятность успеха равна р. СВ Х – число испытаний до первого события А - успеха, имеет геометрическое распределение.

Подсчитаем производящую функцию:

X	1	2	3	4	...	K
p	q^0p	qp	q^2p	q^3p	...	q^k-1p

х – число испытаний до 1-го успеха.

Лекция 10

§ Нормальный закон распределения (Закон Гаусса)

Н

О

СВ Х, заданная на промежутке , распределена по нормальному закону, если ее плотность распределения вероятности выражается формулой:

Функция плотности распределения f(x) удовлетворяет всем свойствам плотности:

1.

2.

Доказательство: |заменяем: | , т.к. - интеграл Пуассона.

Форма кривой распределения

1. Кривая имеет симметричный холмообразный вид;

2. Максимальная ордината кривой равна .

Рассмотрим 2 значения σ: σ₁ и σ₂

Найдем первую производную от плотности распределения:

f `(x) будет равно нулю при x = a – это будет точка максимума:

Найдем вторую производную:

f ``(x) обращается в ноль при - точки перегиба:

f(x) и f(x-a) имеют одну и туже форму только f(x) будет сдвинута вправо, если a > 0 и влево, если a < 0.

Смысл параметров распределения

Найдем M(X) и D(X):

|заменяем: | (интеграл от нечетной функции по симметричному промежутку равен нуль и т.к. - интеграл Пуассона ) = a

Параметр а – это математическое ожидание:

|замена: | = (берем интеграл по частям ) =

Параметр σ – это корень из дисперсии:

В силу симметрии графика относительно прямой х = а – Mo = Me = M(X) = a

Особый случай

Когда а=0 и σ=1.

О

- нормированный нормальный закон распределения. Систематическая ошибка отсутствует.

Плотность распределения вероятности для этого закона называется плотностью распределения Муавра-Лапласа:

Интегральная функция распределения выглядит следующим образом: - функция Лапласа

Свойство:

Доказательство: Рассмотрим интеграл от плотности:

Рассмотрим отдельно сделаем замену ч.т.д.

Нормированная функция Лапласа:

§ Вероятность попадания нормального распределения случайной величины в интервал

СВ в интервал (α, β)

Вероятность попадания нормального распределения СВ Х в интервал (α, β) вычисляется по формуле: сведем к вычислению через нормированную функцию Лапласа, |замена | и

x	t
β
α

Вероятность попадания нормального распределения СВ Х в симметричный промежуток

Правило 3 сигм

Обозначается и вычисляется значения вероятностей с помощью таблицы:

При t = 1:

t = 2:

t = 3:

Это означает, что в 1 случае 68,28% значений НСВ попадут в данный промежуток; во 2 случае 95,45%, а в 3 случае почти все значения НСВ в этот интервал.

Лекция 11

§ Закон равномерной плотности

R([a;b])

Н

О

СВ Х распределена по закону равномерной плотности на промежутке [а; b], если её плотность вероятностей f(x) – постоянная на отрезке, а вне отрезка равна 0:

Замечание: Вместо [а;b] можно написать (а;b) или [а;b), (а;b], т.к. Х – величина случайная. Т.к.

Вычислим интегральную функцию:

1. x < a:

2. a ≤ x ≤ b:

3. x > b:

Формулы для М(X) и D(X)

Доказательство:

Замечание: В ероятность попадания равномерно распределённой СВ Х на интервал (x', x") из промежутка [a; b],

вычисляются по формуле:

Таким образом, вероятность попадания СВ Х в промежуток (x', x") пропорциональная длине всего промежутка.

К таким СВ, имеющим равномерное распределение относится:

- ожидание пассажирами транспорта, курсирующего с определённым интервалом t;

- ошибка округления числа до целого - на отрезке [-1/2; 1/2] и др.

П ример 1: На перекрёстке стоит светофор, по которому: 60 сек - зелёный свет, 30сек - красный, 6 сек - жёлтый. Некто подъезжает к перекрёстку в случайный момент времени, не связанный с работой светофора. Найти вероятность того, что машина не остановится (Шофер соблюдает ПДД).

Х - момент проезда машины через перекрёсток.

По условию СВ Х - распределена равномерно в интервале равном периоду смены цветов в светофоре, длина которого равна сумме всех значений: 1+0,5+0,1=1,6

Для того чтобы машина не остановилась, нужно, чтобы момент ее проезда приходился на промежуток (0;1). Т.е. нужно найти вероятность того, что:

. с вероятностью 0,625 машина проедет без остановки:

Пример 2: Поезд метрополитена идёт с интервалом в 3 минуты. Пассажир выходит на платформу в произвольный момент времени. Найти среднее значение ожидания поезда (М(X)), Д(X) и σ(X).

Пусть Т – НСВ – время ожидания – распределена равномерно на промежутке [0; 180сек].

Найти вероятность того, что промежуток времени Т составит от 30 до 60 секунд.

§ Показательное (экспоненциальное) распределение

Ехр(λ) λ > 0

Н

О

СВ имеет экспоненциальное распределение по параметру λ, если f(x) определяется следующей формулой:

НСВ Х ≈ Ехр (λ)

Найдем интегральную функцию:

1. x < 0:

2. x > 0:

Посчитаем М(Х) и D(Х):

Доказательство:

Найдём медиану:

Здесь медиана – это квантиль порядка 1

Пусть Х = Мe, тогда:

Показательное распределение применяется для описания распространения реальных событий – таких СВ, как:

- длительность работы прибора до 1-го отказа;

- длительность времени обслуживания в системе массового обслуживания и т.д.

П ример 1: Средняя длительность СВ Х – телефонного разговора – 5 мин. Найти вероятность того, что производимый разговор будет продолжаться от 5 до 10 минут.

По другому:

Пример 2: Длительность времени безотказной работы каждого элемента из трех, входящих в устройство, имеет показательное распределение. Среднее время безотказной работы элемента – 500 часов. Устройство работает при условии безотказной работы всех трех элементов. Определить вероятность того, что время безотказной работы устройства составит не менее 800 часов, если время безотказной работы элемента не зависит от двух других.

Пусть А_к – следующее событие: каждый элемент проработает 800 часов.

Тогда, искомая вероятность, т.е. вероятность того, что в течение не менее 800 часов устройство будет работать, считается следующим образом:

Найдём Р(А_к): Пусть случайная величина Т - время безотказной работы каждого элемента. По условию:

Найдём интегральную функцию:

Лекция 12

§ Закон больших чисел