- •Глава 1. Элементы топологии. §1. Понятие метрического пространства. Расстояние между множествами. Диаметр множества.
- •§2. Открытые множества. Понятие топологического пространства.
- •§3. Замкнутые множества. Замыкание.
- •§4. Непрерывные отображения. Гомеоморфизм.
- •§1. Вектор-функция скалярного аргумента.
- •§2. Понятия пути и кривой. Гладкая и регулярная к ривая. Замена параметра.
- •§3. Касательная прямая. Нормальная п лоскость кривой.
- •§4. Соприкасающаяся плоскость к кривой. Главная нормаль. Бинормаль.
- •§6. Кривизна и кручение кривой. Формулы Френе.
- •Теорема 6. Регулярная кривая класса с3 имеет кручение в каждой точке, где кривизна отлична от нуля. Если c(s) – естественная параметризация кривой , то
- •§7. Вид кривой в подвижном репере
- •§8. Огибающая семейства плоских кривых.
- •Глава 3. Теория поверхностей §1. Понятие поверхности.
- •§2. Кривые на поверхности. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
- •§3. Первая квадратичная форма поверхности. Длина кривой на поверхности, угол между кривыми, площадь поверхности.
- •§4. Вторая квадратичная форма поверхности. Нормальная кривизна поверхности. Теорема Менье.
- •§5. Главные направления, главные кривизны, гауссова и средняя кривизна.
- •§6. Соприкасающийся параболоид к поверхности.
- •§7. Геодезические линии на поверхности.
- •§8. Теорема Гаусса-Бонне.
- •§ 9. Эйлерова характеристика поверхности.
- •Глава 4. Понятие многообразия
Глава 1. Элементы топологии. §1. Понятие метрического пространства. Расстояние между множествами. Диаметр множества.
Напомним, что в точечном евклидовом пространстве En расстояние между точками P(x1, x2,… xn), Q(y1, y2,… yn) вычисляется по формуле
(P, Q) = ,
если координаты точек заданы относительно ортонормированной системы координат. Мы можем рассматривать это расстояние, как функцию, сопоставляющую двум точкам P и Q число (P, Q). Функция обладает следующими свойствами:
1. (P, Q) = (Q, P);
2. (P, Q) + (Q, R) (P, R) (неравенство треугольника);
3. (P, Q) 0, и (P, Q) = 0 P = Q.
Пусть теперь M – произвольное множество, элементы которого будем называть точками. Пусть на M задана функция , сопоставляющая любым двум точкам P, QM число (P, Q), которое называется расстоянием между этими точками, и такая что выполнены свойства (аксиомы) 1, 2, 3. Тогда пара (M, ) называется метрическим пространством, а функция – метрикой.
Примеры 1. Пусть V – произвольное подмножество евклидова пространства. Расстояние между двумя точками P, QV будем считать таким же, как во всем пространстве. Тогда (V, ) – метрическое пространство. Метрика называется индуцированной из En.
2 . Сфера S2 в трехмерном геометрическом пространстве. Расстояние 1 между P, Q S2 определяется как длина кратчайшей кривой по поверхности, соединяющей P и Q. Как известно, этой кривой является дуга большой окружности (у которой радиус равен радиусу сферы).
Мы также можем определить расстояние как в примере 1: (P, Q) – это длина хорды PQ. Тогда (S2, 1) и (S2, ) – это разные метрические пространства.
3. Определим на плоскости расстояние между точками A(x1, y1), B(x2, y2) по формуле 2(A, B)=|x2 x1|+|y2 y1|. Получается, что 2(A, B) равно длине ломаной AMB, изображённой на следующем чертеже.
У пражнение. Самостоятельно про-верьте, что для плоскости с метрикой 2 выполняются все аксиомы метрического пространства.
Диаметром множества V в метрическом пространстве (M, ) называется точная верхняя грань расстояний между точками этого множества:
d(V) = sup;\s\do10(P (P, Q).
Расстоянием между двумя множествами V, W называется точная нижняя грань расстояний между точками этих множеств:
(V, W) = inf;\s\do10(P(V (P, Q).
В частности, если одно из множеств состоит из одной точки, то получаем определение расстояния от точки до множества.
П очему в этом определении супрэмум, а не максимум, инфинум, а не минимум? Поясним на примере.
Пример. Пусть V – это открытый (без границы) круг радиуса 1 на плоскости с центром в начале координат, а W = Q(2,0). Тогда d(V) = 2, хотя таких точек, расстояние между которыми равно 2 в V нет. Таким образом, максимум не достигается. Аналогично, (Q, V) = 1, хотя такой точки PV, что (Q, P) = 1 не существует. Значит, минимум не достигается.
Отметим, что если множества пересекаются, то расстояние между ними равно нулю. Обратное неверно. Например, если W есть прямая x = 1, то (V, W) = 0, но V W=.
Определение. Множество V в метрическом пространстве (M, ) называется ограниченным, если d(V)<.
Заметим, что и всё метрическое пространство может быть ограниченным, как например, (S2, 1).
Упражнение. Чему равны диаметры метрических пространств (S2, 1) и (S2, )?