- •1.Фнп. Основные понятия. Предел и непрерывность фнп.
- •2. Частные производные фнп, их геом. Смысл. Частные производные высших порядков.
- •3.Дифф-сть фнп. Необходимые условия дифф-ти. Достаточное условие дифф-ти.
- •4. Полный дифференциал фнп и его применение в приближенных вычислениях.
- •5. Частные производные сложной функции. Полная производная функции
- •6. Производная от функции, заданной неявно.
- •7.Градиент фнп и его основные свойства.
- •8.Необх. И дост. Условия лок. Экс. Ф-ции 2 переменных.
- •15. Таблица неопределенных интегралов. Метод замены переменной в неопределенном интеграле
- •16. Метод интегрирования по частям. Некоторые типичные интегралы, берущиеся по частям.
- •17. Простейшие рациональные дроби. Метод неопределенных коэффициентов.
- •19. Интегрирование тригонометрических функций. Универсальная тригонометрическая подстановка.
- •21. Определение и геометрический смысл определенного интеграла.
- •22. Условия интегрируемости функции. Свойства определенного интеграла, его экономический смысл.
- •23. Формула Ньютона-Лейбница.
- •24. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле.
- •25. Приложения определенного интеграла (формулы для площади плоской фигуры и для длины дуги кривой).
- •26. Несобственные интегралы первого рода, их геом. Смысл. Признаки сравнения нес. Интегралов 1-го рода.
- •27. Несобственные интегралы второго рода, их геом. Смысл. Признаки сравнения нес. Интегралов 2 рода
- •29. Повторные интегралы. Вычисление 2-ых интегралов.
- •30. Применение двойных интегралов в геометрии.
- •31.Основные понятия оДу. Т. О сущ-и и ед-ти. Задача Коши. Общий интеграл и общее решение ду. Частные решения. Геом. Смысл ду.
- •32. Ду с разделяющимися и разделен. Переменными.
- •33. Однородные ду первого порядка.
- •34. Линейные ду первого порядка. Метод Бернулли.
- •35. Лоду 2 порядка с постоянными коэффициентами.
- •36. Линейные неоднородные ду второго порядка с постоянными коэффициентами и спец. Правой частью.
- •38. Необходимой условие сходимости числового ряда. Признаки сравнения рядов с неотр. Членами.
15. Таблица неопределенных интегралов. Метод замены переменной в неопределенном интеграле
1. ∫ 0 ⋅ dx = C. 2. ∫ 1⋅ dx = x + C.
Пусть функция x = ϕ(t) определена и дифф-ема на некотором множестве X * и пусть X – множество значений
этой функции, на котором определена функция f (x). Тогда, если на множестве X функция f (x) имеет первообразную, то на множестве X * справедлива формула:
Выделим два частных случая замены переменной:
1. Так как dx = d(x + a) , где a = const, то ∫ f (x)dx = ∫ f (x) d(x + a).
2. Так как dх=1/к*d(kx), то ∫ f (x) dx= 1/к ∫ f (x) d(kx).
16. Метод интегрирования по частям. Некоторые типичные интегралы, берущиеся по частям.
Пусть каждая из функций u(x) и v(x) дифф-ема на множестве X, и, кроме того, на этом множестве существует
первообразная для функции v(x)u′(x), тогда для функции u(x)v′(x) на X акже существует первообразная, причем
17. Простейшие рациональные дроби. Метод неопределенных коэффициентов.
Метод неопределенных коэффициентов
1. Используя произвольные постоянные, представить правильную рац. дробь P (x)/Q (x) в виде суммы простейших рац. дробей. 2. Привести сумму дробей к одному знаменателю. 3. Приравнять числители. 4. Приравнять коэффициенты при одинаковых степенях x. 5. Решить полученную систему из n уравнений, линейную относительно произвольных постоянных. 6. Используя полученное решение системы, записать разложение исходной дроби на сумму простейших рациональных дробей. 18. Интегрирование простейших рациональных дробей и рациональных функций.
1. Используя произвольные постоянные, представить правильную рац. дробь P (x)/Q (x) в виде суммы простейших рац. дробей. 2. Привести сумму дробей к одному знаменателю. 3. Приравнять числители. 4. Приравнять коэффициенты при одинаковых степенях x. 5. Решить полученную систему из n уравнений, линейную относительно произвольных постоянных. 6. Используя полученное решение системы, записать разложение исходной дроби на сумму простейших рациональных дробей.
Первообразная рациональной функции:
19. Интегрирование тригонометрических функций. Универсальная тригонометрическая подстановка.
Рац. ф-ция R(x,y) 2 переменных х и у – ф-ция R(x,y) = .
Замена t=tgx/2 является универсальной подстановкой для неопределенных интегралов такого вида;х/2=arctgt; x=2arctgt; dx=2/(1+t2)*dt;sinx= 2t/(1+t2); cosx=(1-t2)/(1+t2)
20. Инт-ие простейших иррациональностей. М-д Эйлера.
случай, когда интегралы от иррац. функций с помощью подстановок, приводятся к интегралам от рац. функций.
Такой интеграл приводится к интегралу от рац. функции нового переменного с помощью следующих подстановок Эйлера.
21. Определение и геометрический смысл определенного интеграла.
Опр. интеграл от f(x) на АВ наз. число, равное пределу инргр. сумме при неогранич. разбиении АВ на части и стремлении max из длин стремлении к нулю, если этот предел сущ. и не зависит ни от выбора точек на частичных отрезках, ни от с-ба разбиения АВ на части.
Геом. смысл: Пусть функция y = f (x) неотрицательна на отрезке [a; b]. Фигура, ограниченная графиком функции
y=f(x), заданной на отрезке [a;b], двумя прямыми x = a и x = b, а также отрезком [a;b] оси абсцисс, называется криволинейной трапецией.