- •1.Фнп. Основные понятия. Предел и непрерывность фнп.
- •2. Частные производные фнп, их геом. Смысл. Частные производные высших порядков.
- •3.Дифф-сть фнп. Необходимые условия дифф-ти. Достаточное условие дифф-ти.
- •4. Полный дифференциал фнп и его применение в приближенных вычислениях.
- •5. Частные производные сложной функции. Полная производная функции
- •6. Производная от функции, заданной неявно.
- •7.Градиент фнп и его основные свойства.
- •8.Необх. И дост. Условия лок. Экс. Ф-ции 2 переменных.
- •15. Таблица неопределенных интегралов. Метод замены переменной в неопределенном интеграле
- •16. Метод интегрирования по частям. Некоторые типичные интегралы, берущиеся по частям.
- •17. Простейшие рациональные дроби. Метод неопределенных коэффициентов.
- •19. Интегрирование тригонометрических функций. Универсальная тригонометрическая подстановка.
- •21. Определение и геометрический смысл определенного интеграла.
- •22. Условия интегрируемости функции. Свойства определенного интеграла, его экономический смысл.
- •23. Формула Ньютона-Лейбница.
- •24. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле.
- •25. Приложения определенного интеграла (формулы для площади плоской фигуры и для длины дуги кривой).
- •26. Несобственные интегралы первого рода, их геом. Смысл. Признаки сравнения нес. Интегралов 1-го рода.
- •27. Несобственные интегралы второго рода, их геом. Смысл. Признаки сравнения нес. Интегралов 2 рода
- •29. Повторные интегралы. Вычисление 2-ых интегралов.
- •30. Применение двойных интегралов в геометрии.
- •31.Основные понятия оДу. Т. О сущ-и и ед-ти. Задача Коши. Общий интеграл и общее решение ду. Частные решения. Геом. Смысл ду.
- •32. Ду с разделяющимися и разделен. Переменными.
- •33. Однородные ду первого порядка.
- •34. Линейные ду первого порядка. Метод Бернулли.
- •35. Лоду 2 порядка с постоянными коэффициентами.
- •36. Линейные неоднородные ду второго порядка с постоянными коэффициентами и спец. Правой частью.
- •38. Необходимой условие сходимости числового ряда. Признаки сравнения рядов с неотр. Членами.
22. Условия интегрируемости функции. Свойства определенного интеграла, его экономический смысл.
Случаи инт-ти функций: Если f (x)∈C([a;b]), то f (x)∈ R([a;b]) . Если функция y = f (x) определена и монотонна на отрезке [a;b], то она интегрируема на этом отрезке. Если функция y = f (x) ограничена на отрезке [a;b] и непрерывна во всех точках этого отрезка, кроме конечного числа точек ck (k =1;m) , в которых функция имеет разрыв I рода, то эта функция интегрируема на [a;b]. Если f (x)∈ R([a;b]) , то ф-ция y = f (x) ограничена на [a;b]. 1.Определенный интеграл не зависит от выбора обозначения аргумента подынтегральной функции:
∫0*dx=0
Эк. смысл:
называется средним значением функции y = f (x) на отрезке [a;b], используется на практике при вычислении средней производительности труда, среднего значения издержек производства и т.д.
23. Формула Ньютона-Лейбница.
Если f(x)εC(|a;b|) и F(x) – какая-нибудь первообразная для y=f(x) на этом отрезке, то справедлива ф-ла Н. Лейбница:
∫f(x)dx=F(b)-F(a).
Теорема барроу: Если f(x)εC(|a;b|), то производная ф-ции сущ. в любой хε|а;b|, причем F’(x)= f(x)
24. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле.
Пусть y=f(x) интегрируема на АВ, x=φ(t) дифф-ма на |α;β|, где φ(α)=а,φ(β)=b, тогда имеет место формула замены переменной:
∫f(x)dx=∫f(φ(t))*φ’(t)*dt; Интегр. по частям:
Пусть u=u(x), v=v(x) – две непрерывные дифф-ые ф-ции на АВ, тогда: ∫u(x)*d(v(x))=u(x)*v(x)|ba - ∫v(x)*d(u(x))
25. Приложения определенного интеграла (формулы для площади плоской фигуры и для длины дуги кривой).
Площадь плоской фигуры: площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции, заданной на отрезке [a;b] ( f (x) ≥ 0), двумя прямыми x = a и
x = b и отрезком [a;b] оси абсцисс, определяется формулой:
S=∫f(x)dx. Если фигура, площадь которой ищем лжит под и над осью Ох, то разбивам отрзок интегр-я на части так, что на этих чстях ф-ия сохр. знак(+,-), брем интергал с «+» по тем частям, где ф-ция f(x)> и равно 0 и «-» - f(x)< и равна 0.
площадь плоской фигуры: S=∫(f2(x) – f1(x))dx
Длина дуги кривой: под длиной дуги понимается предел, к которому стремится длина ломаной линии, вписанной в эту дугу, когда число звеньев ломаной возрастает неограниченно, а длина наибольшего звена стремится к нулю. На отрезке [a;b] кривая задана непрерывной функцией и существует производная f ′(x). Тогда длина кри-
вой будет определяться формулой:
26. Несобственные интегралы первого рода, их геом. Смысл. Признаки сравнения нес. Интегралов 1-го рода.
Пусть дан интеграл, интервал от (а,b), где а и b м.б. конечными числами и равны а=-∞, b= +∞, тогда ∫f(x)dx, где f(x) – интегрируема на любом конечном отрезке. Если сущ. предел , стремящ. к +∞ ∫f(x) dx и он конечен, то этот предел наз. несобственным инт. 1 рода.
Геом. смыслом несобственного интеграла 1 рода явл. в случае его сх-ти сущ-я конечной площади, ограниченной площади справа, слева.