9. Доходность и риск портфеля акций из n бумаг. Диверсификация. Эффективная граница Марковица. Эффективный портфель из двух акций.

Доходность и риск портфеля из N бумаг. Пусть необходимо сформировать портфель, состоящий из N акций. Известны r_i доходности, - дисперсия (вариации доходности) и ковариационная матрица. Эти данные, как было показано выше, рассчитывается финансовыми аналитиками, например, по историческим данным. Пусть доля капитала, которая вложена в i –тую акцию равна . Эти доли обычно называют весами. Доходность портфеля равна средневзвешенной доходности активов: Под риском портфеля, как и отдельного актива, понимается корень квадратный из дисперсии , где  ковариационная матрица активов, входящих в портфель.

Диверсификация .Основной задачей для инвестора при формировании портфеля ценных бумаг является создание портфеля с максимально возможной доходностью и минимальным риском. Теория портфеля решает эту задачу. В основном риск и доходность портфеля зависят от числа различных акций (диверсификация) в портфеле, от долей акций в портфеле и коэффициента корреляции между акциями. Диверсификация – это способ уменьшения риска путем инвестирования в несколько акций. Если доли акций в портфеле одинаковы, то такую диверсификацию называют наивной. Риск портфеля состоит из диверсифицируемого риска (собственного) и недиверсифицируемого, который связан с риском рынка.

Эффективный портфель.В плоскости риск - доходность возможно существование множества портфелей. Как было показано в работах Марковитца, это множество является ограниченным. Вклад Марковитца в теорию портфеля заключается в том, он перешел от общей проблемы инвестирования к формальной теории выбора портфеля. Он показал, что все портфели лежат в границах некоторого множества, вне границ этого множества портфелей не существует. Граница множества является эффективной границей в том смысле, что на ней расположены портфели, которые имеют для заданной доходности минимальную вариацию доходности – риск, или для заданного уровня риска максимальную доходность. Достижимое множество портфелей получило название множеством Марковитца.

Портфель из двух активов. Если портфель составлен из двух бумаг, то нетрудно получить аналитическое выражение для долей активов в эффективном портфеле. Для корреляций же между акциями равных =1 и = -1 можно получить аналитическое выражение для эффективной границы. Чтобы вычисления не были громоздкими, то вместо стандартного отклонения используем дисперсию. Риск же просто численно равен корню квадратному из дисперсии. Для упрощения записи формул обозначим доходность .

Доходность и дисперсия портфеля из двух бумаг равны: , где - доля акции А в портфеле, а - доля акций Б в портфеле. Решая относительно получим долю акций в портфеле Минимальный риск будет при корреляции равной ,

а максимальный риск при корреляции равной единице. .

10. Модель capm. Эффективная линия рынка капитала – cml/. Теорема об инвестировании в два фонда. Линия рынка ценной бумаги – sml. Методы расчета коэффициента бета. Условия применимости модели capm.

Портфельная теория, которая рассматривает стоимость инвестирования (риск и доходность) в портфель ценных бумаг из акций и безрисковых активов, получила название CAPM (Capital Asset Pricing Model). САРМ является однопериодной моделью. в том смысле, что в течении этого одного периода времени не должно происходить изменения внешних факторов: безрисковая процентная ставка , доходность рыночного портфеля и коэффициент бета должны быть постоянными для этого периода. Эффективное множество при добавлении в портфель безрискового актива является линейным и называется эффективной линией рынка капитала  СМL (Capital Market Line)

. Эта прямая отражает равновесную зависимость между ожидаемыми доходностями и стандартными отклонениями портфелей.

Линия рынка ценной бумаги  SML (Security Market Line) или уравнение Шарпа – Линтнера имеет вид и показывает, что избыточная доходность акции пропорциональна избыточной доходности рыночного портфеля.

Согласно CAPM совокупный риск ценной бумаги складывается из рыночного (cсистематического) риска и нерыночного рисков. Каждая акция имеет часть рыночного риска равного _. Условия применимости модели САРМ: Рынок состоит из конечного числа абсолютно ликвидных активов. Рынок находится в равновесии, т.е спрос равен предложению; выполняется гипотеза эффективности рынка. Все инвесторы имеют одинаковую информацию; доходности активов являются нормально распределенными случайными величинами, следовательно, имеют конечные значения математического ожидания (доходности) и стандартного отклонения (риск); все инвесторы одинаково оценивают доходность и риск; предпочтения инвестора определяются функцией полезности от двух аргументов – ожидаемой доходности и риска; инвесторы не склонны к риску. При одинаковых доходностях инвестор предпочитает портфель с меньшим риском, или при одинаковых рисках инвестор предпочитает портфель с большей доходностью; инвесторы могут брать взаймы и давать в долг по безрисковой процентной ставке; налоги и транзакционные издержки отсутствуют.

Для оценки коэффициентов бета (показатель, характеризующий влияние общей ситуации на рынке ценных бумаг в целом на динамику цены отдельной ценной бумаги) необходимо знание доходностей активов и рыночной доходности за некоторый период T. В уравнении SML доходность актива линейно зависит от доходности рыночного портфеля. Если такая зависимость действительно наблюдается на рынке, то параметры SML можно оценить на основе уравнения линейной регрессии, которое имеет вид , где , , - последовательности соответственно N значений доходностей за период t=T, - остаточный член (ошибка регрессии). Если переменные в уравнении регрессии являются независимыми и нормально распределенными величинами, а ошибка регрессии является нормально распределенной величиной с нулевым средним и постоянной дисперсией, то оценивая параметры уравнения методом наименьших квадратов (МНК) получим, что оценка коэффициента бета равна . Оценка коэффициента бета, полученная методом МНК, является несмещенной и состоятельной. В модели САРМ бета равно

Бета, рассчитываемая по этой формуле, является мерой ковариации актива и рыночного портфеля (хорошо диверсифицированного портфеля). Бета определяет чувствительность доходности актива к изменениям доходности рыночного портфеля.

Теорема об инвестировании в два фонда. В CAPM инвестор сталкивается с одним и тем же линейным эффективным множеством, включающим в себя инвестирование в касательный портфель к эффективному (рыночный портфель) и безрисковое заимствование по безрисковой процентной ставке . Иначе говоря, инвесторы будут инвестировать в один и тот же касательный портфель, но с различными долями безрискового заимствования, которое определяется предпочтениями инвестора. Такая особенность уравнения CML приводит к следующему утверждению, которое получило название теоремы об инвестировании в два фонда. Теорема. Если инвесторы интересуются только ожидаемой доходностью, и стандартным отклонением, то они будут держать портфель, состоящий только из рыночного М и безрискового актива.