Пример 1. Находят точки экстремума функции .

►

– стационарные точки.

– точки экстремума (соответственно максимума и минимума), – не является точкой экстремума. ◄

def. Непрерывная на промежутке функция называется выпуклой вверх на этом промежутке, если . (1)

Дадим геометрическую интерпретацию понятия выпуклости вверх. Пусть – точки графика функции , абсциссы которых соответственно ровны .

Значение является ординатой точки – середины адрэзка , а – ордината точки графика функции з абсциссой, равной абсциссе точки . Тогда условие (1) означает, что для любых точек и графика функции середина хорды лежит не выше точки графика функции.

Если неравенство (1)– строгое, то непрерывную функцию называют строго выпуклой вверх на .

Условием определяют функцию выпуклую вниз, а в случае строгого неравенства – строго выпуклой вниз.

Пример 2. Функция является строго выпуклой вниз.

► Действительно,

◄

Теорема 5 (достаточные условия выпуклости). Пусть функция имеет на производную второго порядка .

1) Если , то функция выпуклая вниз (вверх) на .

2) Если , то функция строго выпуклая вниз (вверх) на .

□ Пусть . Выберем произвольные . Обозначим . Тогда . (1)

Применим к функции на отрезке и формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа при . Имеем

Складывая эти равенства и учитывая (1), получим

.

Поскольку , то из последнего равенства получаем неравенство

, что равносильно неравенству . А это и означает, что функция – выпуклая вниз на .■

Замечание. Если , то это значит, что – линейная функция ( ), т.е. её графиком является прямая. В этом случае направление выпуклости можно считать произвольным.

Таким образом, какая геометрическая суть ?

def. Пусть функция непрерывна в точке и имеет в ней конечную или бесконечную производную (не имеет надлома). Если эта функция при переходе через точку меняет направление выпуклости (т.е. такое, что на одном из интервалов она выпуклая вниз, а на втором выпуклая вверх), то называется точкой перегиба функции , а точку называют точкой перегиба графика функции .

Теорема 6 (необходимое условие перегиба). Если – точка перегиба функции и функция имеет в окрестности точки вторую производную, непрерывную в точке , то .

□ Если предположить противоположное, что , то на основании теоремы о стабилизации знака непрерывной функции существует окрестность точки , в которой , или . Согласно теореме 5 функция имеет в этой окрестности определённое направление выпуклости, что противоречит наличию перегиба в точке . 

Замечание 1. Условие является необходимым, но недостаточным для точки перегиба. Например, везде выпуклая вниз, хотя в точке .

Замечание 2. Падобно тому, как все точки экстремума функции ищут среди её критических точек, так и все точки перегиба функции ищут среди точек, в которых вторая производная равна нулю, или не существует.

Теорема 7 (первое достаточное условие перегиба). Если функция непрерывная в точке , имеет в этой точке конечную или бесконечную производную и если функция меняет знак при переходе через точку , то является точкой перегиба функции .

Действительно, по обе стороны от она имеет разный характер выпуклости.

Например, функция имеет вторую производную , которая в точке меняет знак, а поэтому точка – точка перегиба функции.