Теорема 8 (второе достаточное условие перегиба). Если функция непрерыв-ная в точке и если , то – точка перегиба функции .

Например, для функции в точке имеем . Таму точка – точка перегиба функции.

def. Прямую называют вертикальной асимптотой графика функции , если выполняется хотя бы одно из условий .

Например, прямая – вертикальная асимптота графиков функций , .

def. Прямую называют наклонной асимптотой графика функции при , если

.

Если при этом , то асимптоту называют горизонтальной асимптотой.

Например, прямая является горизонтальной асимптотой графика функции при и при ; графика функции при .

Поскольку , а , то прямая – наклонная асимптота графика функции при . Эта функция имеет также вертикальную асимптоту .

Теорема 9. Для таго чтобы прямая была асимптотой графика функции при , необходимо и дастаточно,чтобы существовали пределы .

Замечание. В случае горизонтальной асимптоты теорема формулируется следующим образом: для того каб прамая была асимптотой графика функции при , необходимо и дастаточно, чтобы .

Пример. Для функции имеем , . Поэтому прямая – наклонная асимптота функции при . Функция имеет также вертикальную асимптоту .

При построении графика придерживаются следующей схемы:

1). находят область определения функции ;

2). определяют чётность, нечётность, периодичность функции;

3). находят точки пересечения графика с осями координат;

4). определяют поведение графика функции на границе её области определения, т.е. находят асимптоты;

5). вычисляют производную , находят экстремумы функции и промежутки её монотонности;

6). вычисляют вторую производную , находят точки перегиба и промежутки выпуклости;

7). рисуют схему графика.

11