- •Глава 10. Интегралы, зависящие от параметра. §10.1. Собственные интегралы, зависящие от параметра (изоп).
- •Теорема 1 (о непрерывности изоп). Если функция непрерывна на прямоугольнике , то изоп есть непрерывная функция на .
- •Теорема 2 (об интегрируемости изоп). Если функция непрерывна на , то изоп есть интегрируемая на функция, причём
- •Теорема 3 (о дифференцируемости изоп). Если функция и её частная производная непрерывны на , то изоп есть непрерывно дифференцируемая на функция, причём , (5)
- •Пример 1. Вычислить интеграл .
- •§10.2. Несобственные интегралы, зависящие от параметра (низоп).
- •Пример 1. Исследовать на равномерную сходимость интеграл на отрезках: 1) ; 2) .
- •Теорема 1 (Признак Вейерштрасса равномерной сходимости низоп). Если функция интегрируема по на отрезке и если
- •Теорема 2 (о непрерывности низоп). Если функция непрерывная на , а низоп (1) равномерно сходится на , то функция из (1) непрерывная на .
- •Теорема 3 (об интегрируемости низоп). Если функция непрерывная на , а низоп (1) равномерно сходится на , то низоп есть интегрируемая на функция, причём
- •§10.3. Гамма – и Бэта – функции Эйлера.
- •§10.4. Интеграл Дирихле.
Пример 1. Исследовать на равномерную сходимость интеграл на отрезках: 1) ; 2) .
► 1) –интеграл сходится равномерно.
2) Поскольку , если , то , т.е. интеграл сходится неравномерно на .◄
Замечание. НИЗОП – непрерывная на обоих отрезках функция , но на первом из них он сходится равномерно, а на втором неравномерно, т.е. нет аналогии с теоремой Кантора о равно непрерывной функции.
Теорема 1 (Признак Вейерштрасса равномерной сходимости низоп). Если функция интегрируема по на отрезке и если
, (2)
а (3)
сходится, то НИЗОП абсалютно и равномерно сходится по на .
□ Из (2) и из признака сравнения для НИ-1 следует, что НИЗОП (1) абсолютно сходится на . Сходимость интеграла (3) означает:
.
На основании неравенства (2) имеем .
Таким образом, .
Это и означает, что НИЗОП (1) равномерно сходится на .■
Теорема 2 (о непрерывности низоп). Если функция непрерывная на , а низоп (1) равномерно сходится на , то функция из (1) непрерывная на .
□ Возьмём произвольное значение . Тогда
=
Таким образом,
(4)
Поскольку НИЗОП (1) равномерно сходится, то
. (5)
Зафиксируем значение и рассмотрим прямоугольник . Поскольку равномерно непрерывная на (на основании теоремы Кантора), то для выбранного ранее
. (6)
Из неравеств (4), (5) и (6) следует:
, если ,
т.е. функция непрерывная в точке , а тем самым на . ■
Замечание. Равномерная сходимость не является необходимым условием для непрерывнасти НИЗОП. В примере 1 функция – непрерывная на , хотя НИЗОП не является равномерно сходящимся на этом отрезке.
Теорема 3 (об интегрируемости низоп). Если функция непрерывная на , а низоп (1) равномерно сходится на , то низоп есть интегрируемая на функция, причём
, или . (7)
□ Возьмём произвольное значение и рассмотрим прямоугольник . Согласно теореме 2 §10.1 об интегрируемости ИЗОП имеем
(8)
Если мы покажем, что последний интеграл в (8) стремится к нулю при , то тем самым докажем справедливость равенства (7). Поскольку НИЗОП (1) равномерно сходится, то .
Тогда т.е.
. (9)
Если в (8) перейти к пределу при , то на основании (9) получим
, что и означает справедливость (7). ■
Теорема 4 (о дифференцируемости НИЗОП). Если функция и её частная производная непрерывны на , интеграл (1) сходится, а интеграл равномерно сходится по на отрезке , то НИЗОП есть непрерывно дифференцируемая на функция, причём
, т.е.
(НИЗОП можно дифференцировать по параметру под знаком интеграла).
□ Введём вспомогательную функцию . Если , то функция интегрируема на (теорема 3)
Таким образом, По теореме Барроу
,
причём, согласно теореме 2, функция есть непрерывная на . ■
§10.3. Гамма – и Бэта – функции Эйлера.
Будем рассматривать так называемые интегралы Эйлера, названные по предложению Лежандра Гамма – и Бэта – функциями.
1º. Гамма – функция Эйлера. Эта функция вводится как НИЗОП
(1)
с двумя особыми точками и . Покажем, что функция непрерывна при . Для этого представим (1) в виде суммы двух интегралов:
.
Докажем, что эти оба интеграла равномерно сходятся по параметру на каждом отрезке .
1) Если и , то ( – убывающие, поэтому наибольшее значение на левом конце). Поскольку интеграл сходится (он равен , или при ), то интеграл – равномерно сходится на .
2) Если же и , то ( – возрастающая). Поскольку (воспользовались тем, что ), а интеграл – сходится, то интеграл равномерно сходится на . Таким образом, НИЗОП (1) равномерно сходится на , а поэтому функция – непрерывная на (теорема 2 §10.3), а тем самым – непрерывная при .
Аналогичным образом можно показать, что является непрерывно дифференцируемой при , причём
т.е. выпуклая вниз.
Получим основное тождество для .
.
Таким образом, – (3)
формула приведения для Гамма–функции. Для вычисления значений функции достаточно знать её значения на промежутке .
Поскольку , то, взяв в (3) , получаем .
Вычислим
Формула (3) даёт возможность исследовать поведение функции при :
.
Учитывая непрерывность , её выпуклость вниз, её поведение при и некоторые частные значения, схематически изобразим её график. |
|
2º. Бэта – функция Эйлера. Эта функция вводится как НИЗОП
(4)
и имеет две особые точки и . Запишем (1) в виде
.
Исследуем сначала интеграл на сходимость в точке . Поскольку функция непрерывная при , то она ограниченная, т.е. . Тогда имеем и поскольку сходится при , т.е. при , то интеграл сходится (признак сравнения) при всех и при .
Аналогично показывается, что интеграл сходится при всех и при .
Таким образом, функция определена при всех , .
Рассмотрим основные свойства Бэта–функции.
1º. Сделав в (1) замену , имеем
.
2º. Взяв в (4) , имеем
– (5)
другое аналитическое представление Бэта-функции.
3º.
4º.
Пример 1. Выразим интеграл через Бэта–функцию. Сделаем замену :
.
Пример 2. В интеграле делаем замену
.
Очевидно, что интеграл сходится при