§10.4. Интеграл Дирихле.
Рассмотрим
интеграл
.
Он сходится
по признаку
Дирихле:
первообразная
от
ограничена,
а функция
монотонно
стремится к
нулю
при
.
В
точке
он
существует как
обычный
определённый
интеграл.
Для вычисления значения интеграла Дирихле рассмотрим функцию
(1)
Покажем,
что функция
непрерывна при
.
Для этого
сначала
покажем,
что НИЗОП (1)
равномерно сходится при
.
Вычислим
первообразную
откуда
(2)
Поскольку
,
а
,
то
.
(3)
Пользуясь методом интегрирования по частям и неравенством (3), получим
при
и
,
что означает
равномерную
сходимость
НИЗОП (1)
при
.
На основании
теоремы 2 §10.3 функция
непрерывна на
.
Для вычисления
производной
рассмотрим
интеграл, получаемый
из интеграла
(1)
после
дифференцирования его
подынтегральной
функции
по параметру
.
(4)
Этот интеграл
равномерно сходится на каждом
отрезке
,
поскольку
и
– сходится (признак
Вейерштрасса).
Тогда по
теореме
4 §10.2 при
имеем
=
=
.
(5)
Поскольку
и
можно
выбирать
произвольно,
то равенство
(5) имеет место
при
.
Интегруя
(5) по
,
получим
.
(6)
Поскольку
(мы показывали
ранее, что
),
то
.
Поэтому
.
Из
равенства
(6) найдём
константу
С:
.
Таким образом, из
(6) получаем
.
(7)
Из
непрерывности
следует
.
Таким образом,
– интеграл Дирихле.
Из
этой
формулы следует
(Достаточно
в интеграле сделать
замену
,
або
.)