5. Граничные условия для электромагнитного поля. Нормальные и тангенциальные составляющие векторов

Постановка задачи

Основной задачей теории электромагнитного поля является нахождение его векторов в определенной области пространства при заданных условиях, которые отражают предварительные сведения об электромагнитном процессе. Задача имеет реальное физическое содержание, если эти сведения правильны и если они достаточны. При неправильных условиях, налагаемых на уравнения поля, можно получить решение, не соответствующее исследуемому процессу, или просто войти в противоречие с этими уравнениями. Решение, получаемое при недостаточных условиях, оказывается неопределенным. Вопрос о том, какими сведениями надо располагать, чтобы найти поле в

задаче того или иного типа, будет решаться по мере необходимости в последующих главах. Пока же отметим, что для определения поля внутри области надо иметь некоторые данные о его характере на границе. Особый интерес представляют границы разнородных сред,присутствующих в подавляющем большинстве практически интересных задач.

Это границы между различными диэлектриками, границы между диэлектриками и проводниками, границы, на которых сосредоточены заряды или по которым протекают токи. Дальнейшее исследование посвящено определению с помощью уравнений Максвелла векторов электромагнитного поля вблизи таких границ. Результаты исследований формулируются в виде такназываемых граничных условий, которые затем будут использоваться в задачах разного типа.

6. Закон Джоуля-Ленца в дифференциальной и интегральной формах.

Поскольку электромагнитное поле физически реально, оно обладает энергией. После ряда рассуждений и операций над уравнениями Максвелла мы выясним, каким образом векторы поля E,H,D и B определяют его энергию W. Можно подойти к этому, начав с вопроса о превращениях энергии поля.

Известно, что при наличии тока в реальной среде выделяется тепло. Зная плотность тока j и напряженность поля E , нетрудно, как мы увидим, найти энергию, теряемую электромагнитным процессом за единицу времени, т.е. мощность тепловых потерь P. Оказывается, в объеме V расходуется мощность

(1)

Чтобы убедиться в справедливости записанного выражения, обратимся к простому варианту, в котором область V представляет собой цилиндр длиной l , площадью основания S . Ось цилиндра совпадает с направлением вектора плотности тока. Пусть в пределах объема выделенного цилиндра поле однородно. В этом случае применение формулы ,дает:

Как видно, полученное равенство эквивалентно закону Джоуля-Ленца, Таким образом, применение формулы(1) означает обращение к закону Джоуля-Ленца. По смыслу равенства (1) подынтегральное выражение

p jE

есть не что иное, как плотность мощности, т.е. мощность, отнесенная к единице

объема:

Полученные выражения мощности и ее плотности имеют универсальный характер. Они верны не только при расчете джоулевых потерь, но и сохраняют смысл во всех случаях, когда рассматриваются токи.

Отметим, что в зависимости от направления движения зарядов величина р может быть как положительной, так и отрицательной. Заряды могут ускоряться полем. При этом j и E параллельны, р > 0, и энергия у поля отбирается. Очевидно, что р<0, если j и E антипараллельны. Это будет, например, в том случае, когда движение зарядов против поля создается каким-то неэлектромагнитным, «сторонним» процессом, который отдает свою энергию полю, тормозящему заряды.

Описание неэлектромагнитных факторов, как говорят, сторонних сил в большинстве случаев сводится к изменению вида материального уравнения. Используется одна из следующих формализаций:

детализированное выражение плотности мощности

Где

Первый член характеризует поглощение, потери электромагнитного процесса, а второй - - действие сторонних сил. Сторонние силы обычно локализованы.