11. Уравнения Максвелла в символической форме. Комплексные диэлектрическая и магнитная проницаемости среды.

Где - комплексные амплитуды векторов поля

Сократив на избавимся от временной зависимости и перейдем к комплексным амплитудам:

- комплексная диэлектрическая проницаемость

Относительная характеризует проводимые свойства среды(проводящие св-ва среды)

Обозначим , тогда

Отншение - тангенс угла диэлектрических потерь

Если tg>0- то диэлектрик

Если tg<45 – то это проводник

Мнимая часть комплексной диэлектрической проницаемости характеризует ток проводимости и электрические потери в веществе: если потерями можно пренебречь, то =0.

Аналогично получим: (учитывает магнитные потери) -потери на перемагничивание(способность среды намагничиваться)

Уравнение Максвелла, таким образом, будут иметь вид:

для комплексных векторов:

для комплексных амплитуд

Эти уравнения дополняются еще двумя:

divE = 0, divH = 0.

12. Волновые уравнения и их решение. Плоские однородные волны в не поглощающих средах.

Получим из уравнений Максвелла уравнения отдельно для E и отдельно для H

Обозначит , где – волновое число

Так как divE=0, то

Проведем аналогичные действия относительно вектора H

это уравнения Гельмгольца.

Для комплексных амплитуд они выглядят следующим образом:

Плоская волна – это волна, фронт которой представляет собой плоскость.

Предположим, что в точке О находится точечный источник. Плоскость Р перпендикулярна Oz. При перемещении в плоскости Р не происходит изменения состояния процесса. Так как состояние процесса во всех точках плоскости одинаково, то эту плоскость можно назвать фронтом волны. В этой плоскости при перемещении в перпендикулярном оси Z направлении не происходит никаких изменений. Что математически означает следующее:

Такое приближение называется приближением плоской волны. В этом случае трехмерные уравнения преобразуются в одномерные уравнения:

Решение подобного рода волновых уравнений хорошо известно и имеет вид:

– орты, показывающие направление векторов электрического и магнитного полей

Переходя от комплексных векторов к их реальным частям, получим:

Отношение называется фазовой скоростью и показывает скорость распространения волнового фронта электромагнитной волны.

Для вакуума фазовая скорость будет:

Это означает, что в вакууме скорость распространения электромагнитной волны равна скорости света. Определим расстояние l между точками поля с фазами, отличающимися

на 360 градусов.

Длина волны в вакууме

Фазовая скорость в остальных средах и соответственно, длина волны .Как следует из формулы для фазовой скорости, она не зависит от

частоты, значит вакуум среда не дисперсионная.

Установим связь между направлениями векторов электрического и магнитного полей. Начнем с уравнений Максвелла:

Заменяем векторные уравнения скалярными

Учтем , что

Тогда

видно, что у плоских волн нет продольных составляющих, т.к. .

Составим скалярное произведение (E,H) , выразив Еx и Еy

Так как скалярное произведение векторов равно нулю, векторы E и H в плоской волне перпендикулярны друг другу. Поскольку у них нет продольных составляющих, то E и H перпендикулярны направлению распространения волны. Найдем отношение амплитуд векторов электрического и магнитного полей.

где – волновое сопротивление среды с макроскопическими параметрами и .

Величина называется волновым сопротивлением вакуума. Оно равно 377 Ом.

На основе анализа решения волновых уравнений можно сделать

следующие выводы:

1.В вакууме плоские волны распространяются со скоростью света, в остальных диэлектрических средах скорость меньше в раз.

2.Векторы электрического и магнитного полей не имеют продольных составляющих и перпендикулярны друг другу.

3.Отношение амплитуд электрического и магнитного полей равно волновому сопротивлению среды, в которой происходит распространение электромагнитных волн.