- •1. Сложение матриц и умножение матрицы на число.
- •2. Умножение матриц. Невырожденные квадратные матрицы.
- •3. Обратная матрица. Алгоритм нахождения обратной матрицы.
- •4. Решение матричных уравнений вида , .
- •5. Определители и их свойства.
- •6. Непосредственное вычисление определителей второго и третьего порядков.
- •7. Формула разложения определителя по строкам и столбцам. Теорема Лапласа.
- •8. Ранг матрицы. Нахождение ранга матрицы.
- •9. Системы линейных алгебраических уравнений.
- •10. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса.
- •11. Нахождение решения системы линейных алгебраических уравнений по формуле Крамера.
- •12. Нахождение решения системы линейных алгебраических уравнений методом обратной матрицы.
- •14. Теорема Кронекера-Капелли.
- •15. Арифметические векторы и линейные операции над ними.
- •16. Линейная зависимость системы векторов.
- •17. Базис и размерность линейного пространства. Координаты вектора в данном базисе.
- •22. Схема Горнера и корни многочленов.
- •23. Теорема Безу. Нод многочленов и алгоритм Евклида.
- •24. Комплексные числа и действия над ними.
- •25. Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Модуль и аргумент комплексного числа.
- •26. Алгебраическая и тригонометрическая формы записи комплексных чисел.
- •27. Корни n-ой степени из комплексного числа.
- •28. Линейные преобразования пространства . Линейные операторы.
- •29. Матрица линейного оператора.
- •30. Собственные значения и собственные векторы линейных операторов.
- •31. Собственные значения квадратных матриц.
- •32. Квадратичные формы, их матрицы в данном базисе.
- •33. Приведение квадратичной формы к нормальному виду методом Лагранжа.
- •34. Приведение квадратичной формы к каноническому виду при помощи ортогонального преобразования.
- •35. Закон инерции квадратичных форм.
- •36. Критерий Сильвестра знакоопределенности квадратичных форм.
- •37. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку.
- •38. Общее уравнение плоскости и его исследование.
- •39. Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки.
- •40. Угол между двумя плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности.
- •41. Общее уравнение прямой на плоскости и его исследование.
- •42. Уравнение прямой в отрезках.
- •43. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.
- •44. Уравнение прямой, проходящей через данную точку в заданном направлении.
- •45. Угол между двумя прямыми на плоскости. Условие параллельности и перпендикулярности прямых.
- •46. Виды уравнения прямой: векторное, параметрическое и каноническое уравнения прямой в пространстве.
- •47. Уравнение прямой в пространстве, проходящей через две данные точки.
- •48. Прямая как линия пересечения двух плоскостей.
- •49. Окружность. Определение. Каноническое уравнение.
- •50. Эллипс. Определение. Каноническое уравнение. Свойства.
- •51. Гипербола. Определение. Каноническое уравнение. Свойства.
- •52. Парабола. Определение. Каноническое уравнение. Свойства.
22. Схема Горнера и корни многочленов.
Если то при делении на частное имеет вид , где Остаток r находится по формуле Чаще всего при использовании схемы Горнера составляют таблицу:
Корнем многочлена называется такое число, которое при подстановке вместо x обращает уравнение в тождество.
23. Теорема Безу. Нод многочленов и алгоритм Евклида.
Теорема Безу гласит, что остаток от деления многочлена на двучлен , где a – число, равен . Алгоритм Евклида – способ нахождения НОД двух целых чисел или многочленов. Алгоритм состоит из последовательного деления с остатком сначала первого данного многочлена, f(x), на второй, g(x):
f(x) = g(x)∙q1(x) + r1(x)
затем, если r1(x) ≠ 0, – второго данного многочлена, g(x), на первый остаток – на многочлен r1(x):
g(x) = r1(x)∙q2(x) + r2(x),
далее, если r2(x) ≠ 0, – первого остатка, r1(x), на второй остаток, r2(x):
r1(x) = r2(x)∙q3(x) + r3(x),
затем, если r3(x) ≠ 0, – второго остатка на третий:
r2(x) = r3(x)∙q4(x) + r4(x),
и так далее, пока очередной остаток не будет равен нулю. Тогда последний не равный нулю остаток и будет НОД исходной пары многочленов f(x) и g(x).
24. Комплексные числа и действия над ними.
Число вида , где x и y – действительные числа, i – мнимая единица ( ), называется комплексным числом. Число x называется действительной частью, а y – мнимой частью числа z. Два комплексных числа с одинаковыми действительными и противоположными мнимыми частями называются сопряженными. Сложение: . Вычитание: . Умножение: . Деление: .
25. Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Модуль и аргумент комплексного числа.
Геометрически комплексные числа удобно изобразить точками плоскости или радиус-векторами точек, координатами которых являются действительные и мнимые части чисел. Оси 0x и 0y называют соответственно действительной и мнимой осями. Плоскость x0y называют комплексной плоскостью. На оси 0x лежат действительные числа (y=0), а на оси 0y – мнимые числа (x=0).
Можно изображать комплексные числа и в полярной системе координат, состоящей из точки O – начала координат (полюса), полярного луча и полярного угла. Совместим декартову и полярную системы координат. Обозначим полярный луч точки M как r, а полярный угол как φ. Полярный радиус r называется модулем комплексного числа и обозначается . Полярный угол называется аргументом комплексного числа и обозначается .
26. Алгебраическая и тригонометрическая формы записи комплексных чисел.
Алгебраическая форма: , где x и y – действительные числа, i – мнимая единица числа z. Тригонометрическая форма: где r – модуль, а φ - аргумент комплексного числа.
27. Корни n-ой степени из комплексного числа.
Извлечение корня n-ой степени производится по формуле: Подставив вместо k значения 0,1,2 и так далее до n-1, получим n различных значений корня.
28. Линейные преобразования пространства . Линейные операторы.
Пусть даны два линейных пространства L ( ) и L’ ( ). Если задан закон (правило) φ, по которому каждому вектору x пространства L ставится в соответствие единственный вектор y пространства L’, то говорят, что задан оператор φ, действующий из L в L’, и записывают или . Вектор называется образом вектора x при действии оператора φ, а сам вектор x – прообразом вектора y. Если пространства L и L’ совпадают, то оператор φ отображает пространство L в себя и иначе называется преобразованием линейного пространства L. Оператор φ, действующий в линейном пространстве L, называется линейным, если для любых векторов x, y из L и любого числа выполняются равенства: 1) 2) . Примеры линейных операторов. Нуль-оператор θ ставит в соответствие каждому вектору нулевой вектор 0: . Тождественный (единичный) оператор ε ставит в соответствие каждому вектору этот же вектор: . Оператор подобия φ с коэффициентом подобия µ ставит в соответствие каждому вектору пропорциональный вектор µx: .