- •1. Сложение матриц и умножение матрицы на число.
- •2. Умножение матриц. Невырожденные квадратные матрицы.
- •3. Обратная матрица. Алгоритм нахождения обратной матрицы.
- •4. Решение матричных уравнений вида , .
- •5. Определители и их свойства.
- •6. Непосредственное вычисление определителей второго и третьего порядков.
- •7. Формула разложения определителя по строкам и столбцам. Теорема Лапласа.
- •8. Ранг матрицы. Нахождение ранга матрицы.
- •9. Системы линейных алгебраических уравнений.
- •10. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса.
- •11. Нахождение решения системы линейных алгебраических уравнений по формуле Крамера.
- •12. Нахождение решения системы линейных алгебраических уравнений методом обратной матрицы.
- •14. Теорема Кронекера-Капелли.
- •15. Арифметические векторы и линейные операции над ними.
- •16. Линейная зависимость системы векторов.
- •17. Базис и размерность линейного пространства. Координаты вектора в данном базисе.
- •22. Схема Горнера и корни многочленов.
- •23. Теорема Безу. Нод многочленов и алгоритм Евклида.
- •24. Комплексные числа и действия над ними.
- •25. Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Модуль и аргумент комплексного числа.
- •26. Алгебраическая и тригонометрическая формы записи комплексных чисел.
- •27. Корни n-ой степени из комплексного числа.
- •28. Линейные преобразования пространства . Линейные операторы.
- •29. Матрица линейного оператора.
- •30. Собственные значения и собственные векторы линейных операторов.
- •31. Собственные значения квадратных матриц.
- •32. Квадратичные формы, их матрицы в данном базисе.
- •33. Приведение квадратичной формы к нормальному виду методом Лагранжа.
- •34. Приведение квадратичной формы к каноническому виду при помощи ортогонального преобразования.
- •35. Закон инерции квадратичных форм.
- •36. Критерий Сильвестра знакоопределенности квадратичных форм.
- •37. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку.
- •38. Общее уравнение плоскости и его исследование.
- •39. Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки.
- •40. Угол между двумя плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности.
- •41. Общее уравнение прямой на плоскости и его исследование.
- •42. Уравнение прямой в отрезках.
- •43. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.
- •44. Уравнение прямой, проходящей через данную точку в заданном направлении.
- •45. Угол между двумя прямыми на плоскости. Условие параллельности и перпендикулярности прямых.
- •46. Виды уравнения прямой: векторное, параметрическое и каноническое уравнения прямой в пространстве.
- •47. Уравнение прямой в пространстве, проходящей через две данные точки.
- •48. Прямая как линия пересечения двух плоскостей.
- •49. Окружность. Определение. Каноническое уравнение.
- •50. Эллипс. Определение. Каноническое уравнение. Свойства.
- •51. Гипербола. Определение. Каноническое уравнение. Свойства.
- •52. Парабола. Определение. Каноническое уравнение. Свойства.
35. Закон инерции квадратичных форм.
Любую квадратичную форму невырожденным преобразованием X=PY можно привести к эквивалентной ей форме вида . Это выражение называется каноническим видом квадратичной формы (оно не содержит попарных произведений переменных), а числа – ее каноническими коэффициентами. Закон инерции. Независимо от способа приведения квадратичной формы к каноническому виду число ее положительных (отрицательных) канонических коэффициентов постоянно.
36. Критерий Сильвестра знакоопределенности квадратичных форм.
Пусть матрица A квадратичной формы имеет вид: , где (асимметричная матрица). Определители , …, называются угловыми или главными минорами матрицы A.
Критерий Сильвестра. 1. Для того чтобы КФ была положительно определенной, необходимо и достаточно, чтобы все угловые миноры ее матрицы A были положительными, т. е. 2. Для того чтобы квадратичная форма была отрицательно определенной, необходимо и достаточно, чтобы знаки последовательных угловых миноров ее матрицы A чередовались, начиная со знака минус.
37. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку.
Рассмотрим в пространстве плоскость α. Ее положение вполне определяется заданием вектора , перпендикулярного данной плоскости, и некоторой фиксированной точкой, принадлежащей плоскости α. Вектор , перпендикулярный плоскости α, называется вектором нормали этой плоскости. Обозначим через А, В и С координаты, тогда вектор можно разложить по базису i, j, k: . Выведем уравнение плоскости, проходящей через данную точку и имеющей нормальный вектор . Для этого возьмем произвольную точку М. Рассмотрим . Скалярное произведение (сумма попарных произведений соответствующих координат) этих векторов равно 0. (1). Из построения: уравнение (1) примет вид Это – векторное уравнение плоскости. В координатном виде Уравнение плоскости в координатной форме:
38. Общее уравнение плоскости и его исследование.
Рассмотрим уравнение . Раскроем скобки и преобразуем полученное выражение: ; ; – общее уравнение плоскости. Рассмотрим зависимость положения плоскости от коэффициентов. 1) A=0; By+Cz+D=0 => α‖0x; B=0: Ax+Cz+D=0 => α‖0y; C=0: Ax+By+D=0 => α‖0z. 2) D=0: плоскость проходит через начало координат. 3) A=B=0 => Cz+D=0 => , α‖x0y. C=B=0 => Ax+D=0 => , α‖y0z. A=C=0 => By+D=0 => , α‖x0z. 4) A=B=D=0: Cz=0 => z=0 – плоскость x0y. A=C=D=0: By=0 => y=0 – x0z. B=C=D=0: Ax=0 => x=0 – y0z. Уравнение плоскости в отрезках: , где a, b, с – отрезки, отсекающие плоскость на координатных осях.
39. Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки.
Пусть даны три точки: Уравнение плоскости, проходящей через 3 данные точки: .
40. Угол между двумя плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности.
Пусть даны плоскости и . . Под углом между двумя плоскостями понимают один из двугранных углов, образованных этими плоскостями: . . Условие перпендикулярности: если В векторной форме: В координатной форме: Условие параллельности: если , то => (в векторной форме), (в координатной форме).