Плотность распределения Лапласа

График плотности распределения приведен на рис. 18. Плотность распределения симметрична относительно математического ожидания. Кривая плотности распределения описывается функцией Математическое ожидание, мода и медиана совпадают: .

Для определения дисперсии воспользуемся характеристической функцией. Поскольку плотность распределения Лапласа симметрична, и центральные моменты не зависят от смещения плотности распределения, положим с = 0. Тогда характеристическая функция получается из выражения:

.Если с  0, то в соответствии со свойством b) характеристических функций (см. п. 1.6.4) появится экспоненциальный множитель

.По свойству характеристических функций прис = 0

,откуда следует, что дисперсия . Четвертый центральный момент, асимметрия и эксцесс равны: , As = 0, .

12.Случайные величины с плотностями распределения вероятностей:arcsin и Коши;графики,числовыехарактеристики,моменты,примеры расчета по заданию экзаменатора.

Плотность распределения ArcsinГрафик плотности распределения приведен на рис. 15. Плотность распределения симметрична относительно математического ожидания. Кривая плотности распределения описывается функцией .Математическое ожидание и медиана совпадают : .Дисперсия, четвертый центральный момент, асимметрия и эксцесс равны: , , As = 0, .Случайная величина с такой плотностью распределения возникает при аналого-цифровом преобразовании, например, синусоидального напряжения, действующего на входе аналого-цифрового преобразователя

(АЦП). При запуске АЦП в случайные моменты времени или в моменты времени, не синхронизированные с частотой напряжения помехи, как видно из рис. 16, из-за плоских максимумов и минимумов синусоиды плотность значений выходного сигнала АЦП возрастает к краям интервала и минимальна в середине этого интервала. Интегральная функция распределения описывается функцией, обратной функции y = sin x, то есть функцией

Плотность распределения Коши График плотности распределения приведен на рис. 19. Плотность распределения симметрична относительно математического ожидания. Кривая плотности распределения описывается функцией Плотность распределения симметрична, одномодальна. Изобщего выражения для моментов

видно, что при всех целых значениях k> 0 этот несобственный интеграл не существует, поскольку порядок убывания подинтегральной функции на бесконечности при k> 0 не превышает единицы. При k = 0 этот интеграл равен 1, что и должно следовать из условия нормировки плотности распределения.

В связи с этим математическое ожидание, дисперсия и моменты более высоких порядков случайной величины, распределенной по Коши, отсутствуют. Параметры плотности распределения Коши имеют названия: c - параметр сдвига (совпадает с модой и медианой),  - параметр масштаба.Эксцесс случайной величины, распределенной по Коши, равен .Характеристическая функция

.

Справедливость этого выражения обнаруживается при сопоставлении пары преобразований Фурье, связывающих плотность распределения Лапласа с ее характеристической функцией при c = 0. Здесь вид характеристической функции с точностью до множителя совпадает с видом плотности распределения Лапласа, а вид характеристической функции плотности Лапласа с точностью до того же множителя совпадает с видом плотности распределения Коши. Заметим, что характеристическая функция случайной величины, распределенной по Коши, недифференцируема в нуле, и это - еще один признак отсутствия моментов данной случайной величины.

13.Случайная величина с нормальной плотностью распределения,формулы,графики плотности распределения и функциираспределения,свойства,числовые характеристики.

Нормальная плотность распределения (Гаусса)

Кривая нормальной плотности распределения описывается функцией ,

которая называется гауссианой по имени германского математика К.Ф.Гаусса. Позднее были открыты многие замечательные свойства случайных величин, распределенных по нормальному закону. Ниже мы познакомимся с большинством этих свойств.Форма кривой нормальной плотности представлена на рис. 17. Это симметричная одномодальная плотность распределения, поэтому математическое ожидание, мода и медиана совпадают: .Дисперсия, четвертый центральный момент, асимметрия и эксцесс равны: , , As = 0, .

В некоторых источниках эксцесс плотности распределения определяют по отношению к эксцессу нормальной плотности распределения. Тогда эксцесслюбого распределения уменьшается на3, а эксцесс нормального распределения равен 0: .Принадлежность случайной величины к нормальной генеральной совокупности с математическим ожиданием c и дисперсией мы будем обозначать следующим образом .Характеристическую функцию нормальной случайной величины приведем здесь без вывода: .

Обратим внимание на то, что приотсутствия сдвига плотности распределения относительно начала координат, то есть при c = 0 множитель пропадает.

Интегральная функция нормального распределения выражается интегралом от плотности распределения: .Этот интеграл не может быть записан в конечной форме, поэтому его значения табулируются. В связи с тем, что этот интеграл зависит от параметров с и , которые могут принимать бесчисленное множество значений, в целях удобства табулирования эти параметры исключаются путем замены переменной интегрирования: .Тогда, пользуясь тем, что нормальная плотность распределения симметрична и F(c)=0.5, получим для :

где функция называется функцией Лапласа. Таблицы этой функции приводятся во всех без исключения справочниках, учебниках и учебных пособиях по теории вероятностей и математической статистике. Если , . Оба эти выражения распространяются на всю ось путем объединения с использованием знаковой функции sign[] : .Вероятностная мера полуоткрытого интервала (a, b] вычисляется, как .Если интервал симметричен относительно математического ожидания, то есть границы интервала суть (c - a, c + a], то .На практике часто используются интервалы, ширина которых исчисляется целыми значениями среднеквадратического отклонения . Наиболее популярными среди них являются :a = , a = 2, a = 3. Для этих значений . Соответственно, вероятностные меры интервалов: , , .

14.Принцип вычисления вероятностной меры интервала при нормальном распределении случайной величины. -интегральная ф-цинормального распределения ,где -ф-ция ЛапласаВероятностная мера полуоткрытого интервала (a, b] вычисляется, как .

Если интервал симметричен относительно математического ожидания, то есть границы интервала суть (c - a, c + a], то .На практике часто используются интервалы, ширина которых исчисляется целыми значениями среднеквадратического отклонения . Наиболее популярными среди них являются :a = , a = 2, a = 3. Для этих значений . Соответственно, вероятностные меры интервалов: , , .

15.Интегральная теорема Муавра-Лапласа и центральная предельная теорема(без док-ва),безграничная делимость нормальной плотности распределения два из многих исключительных свойств нормального распределения вероятностей: интегральная теорема Муавра-Лапласа и Центральная Предельная Теорема (ЦПТ).

Интегральная теорема Муавра-Лапласа основывается на локальной теореме Муавра-Лапласа. Напомним, что если в схеме Бернулли (см. п. 1.2.4) количество испытаний возрастает, т.е. n , а вероятность p появления одного из двух противоположных событий не изменяется, то в соответствии с локальной теоремой Муавра-Лапласа Интегральная теорема Муавра - Лапласа посвящена задаче упрощенной оценке вероятности без необходимости трудоемких вычислений числа сочетаний. На основании локальной теоремы .Последнее равенство является точным в условиях действия локальной теоремы Муавра-Лапласа в связи с тем, что из-за дискретности случайной величины m = 1. В то же время последняя сумма есть не что иное, как формула прямоугольников приближенного вычисления интеграла:

.В конечном итоге при n  и при p = const интегральная теорема Муавра - Лапласа утверждает следующую ассимптотику . Центральная Предельная Теорема (ЦПТ).Приведем упрощенную формулировку теоремы. Плотность распределения суммы независимых произвольно распределенных случайных величин, дисперсии которых различаются не слишком сильно, при увеличении числа слагаемых стремится к нормальной плотности распределения.

Распределение вероятностей случайной величины безгранично делимо тогда и только тогда, когда эта случайная величина может быть представлена суммой любого количества независимых случайных величин, подчиненных тому же распределению вероятностей