19.Двумерные случайные величины,функцияраспределения,плотностьраспределения,маргинальныеплотности,формулы для вычисления вероятностноймеры двумерной области,числовые характеристики.

Функции распределения и плотности распределения Будем рассматривать двумерный случайный вектор .будем считать, что случайный вектор принимает значения .Функция распределения двумерного случайного вектора есть вероятность совместного осуществления событий: Плотность распределения, как и ранее, есть производная от функции распределения по обоим аргументам:

,поэтому .

В силу монотонности вероятностной меры функция распределения - неубывающая функция по каждому аргументу, а потому плотность распределения есть неотрицательная функция двух аргументов, которая описывает некоторую поверхность над координатной плоскостью. Эта поверхность приближается к плоскости XOY при удалении значений аргументов от начала координат по любому направлению. Понятно, что .Если по одному из аргументов ограничений нет, то . Таким образом мы получили маргинальные (частные) функции распределения и . Дифференцирование этих функций по их аргументам, то есть дифференцирование соответствующих интегралов по их верхним пределам, по определению, дает маргинальные (частные) плотности распределения: , .

Числовые характеристики

Моменты случайных величин определяются, как и ранее, формулами

- начальные моменты k - го порядка .- центральные моменты k - го порядка:

, .Среди этих моментов самыми употребительными являются математи­ческие ожидания и дисперсии , . Математическое ожидание случайного вектора есть вектор, компонентами которого являются математические ожидания соответствующих составляющих:

.Из условных моментов выделим лишь первые начальные (условные математические ожидания) и вторые центральные (условные дисперсии): , , , .Как и ранее, во всех случаях , , , .Для двумерных случайных величин вводятся смешанные моменты:- начальные порядка k, r ,

-центральные порядка k, r : .Из них наиболее употребительным является центральный смешанный момент порядка (1, 1), который называется ковариацией и обозначается, как cov(, ): .Выясним связь между этим и начальным смешанным моментом того же порядка.

.В итоге получаем, что Если случайные величины  и независимы, в соответствии с признаком независимости, сформулированным выше, = ,то есть мы видим, что двукратный интеграл в этих условиях преобразуется в произведение однократных интегралов, каждый из которых равен нулю. В самом деле, .Поэтому при условии независимости случайных величин  и их первый центральный смешаный момент или ковариация равна 0.В случае взаимнооднозначной зависимости между и , например, линейной ковариация равна .

20.Ковариационная матрица двумерной непрерывной случайной величины,коэффициенткорреляции,пределызначений,доказательство;независимость и некоррелированность:понятие и признаки.

Компонентами ковариационной матрицы являются центральные моменты компонент случайного вектора: вторые центральные моменты и ковариации. Математическое определение ковариационной матрицы:

.Математическое ожидание случайной матрицы есть матрица, каждый элемент которой есть математическое ожидание соответствующего элемента исходной случайной матрицы. В итоге ковариационная матрица двумерного случайного вектора приобретает вид .Как видно, это симметричная квадратная матрица, ее размер соответствует размерности исходного случайного вектора. Определитель этой матрицы вычисляется достаточно просто:

.Если случайные компоненты вектора независимы или хотя бы некоррелированы, ковариационная матрица становится диагональной, а ее определитель равен произведению диагональных элементов:

.При взаимнооднозначной связи между  и  ,например, линейной , коэффициент корреляции , а из этого следует, что определитель ковариационной матрицы равен нулю, то есть в этом случае матрица оказывается особенной. Этого следовало ожидать, поскольку если между составляющими случайного вектора существует взаимнооднозначная связь, то, по сути дела, существует всего одна случайная величина, случайный вектор вырождается в скалярную (одноразмерную) случайную величину, и ковариационная матрица содержит только один элемент, то есть также вырождается в скаляр, а именно, в значение дисперсии.Для представления степени взаимной зависимости между компонентами случайного вектора применяется корреляционная матрица, элементами которой являются коэффициенты корреляции: .Если компоненты случайного вектора независимы или хотя бы некоррелированы, корреляционная матрица становится единичной матрицей. Для того, чтобы избавиться от масштаба значений, принимаемых случайными величинами, в качестве показателя линейной зависимости используется частное от деления ковариации на произведение среднеквадратических значений случайных величин: .Эта величина называется коэффициентом корреляции. Случайные величины, у которых коэффициент корреляции равен нулю, называются некоррелированными. Независимые случайные величины с необходимостью некоррелированы. Обратное, вообще говоря, неверно! Из некоррелированности случайных величин их независимость, вообще говоря, не следует. Это понятно хотя бы потому, что из равенства нулю центрального смешанного момента порядка 1, 1 вовсе не следует, что все центральные смешанные моменты более высоких порядков также равны нулю.Определим максимально возможное значение коэффициента корре­ляции. Естественно предположить, что своего максимального значения коэффициент корреляции достигает при взаимно однозначной связи между  и , например, линейной . Для этого случая нам известна ковариация между и , а из п. 1.6.5 следует, что , то есть . В результате получаем: ,а это означает, что

_{21.Двумерные непрерывные случайные величины,условные плотности распределения,признак независимости,формула полной вероятности, формула Байеса,характеристическая функция;характеристическая функция и плотность распределения суммы двух независимых случайных величин.}условную функцию распределения, то есть функцию распределения одной из случайных величин при условии, что другая случайная величина принимает некоторое конкретное значение, например,

.Выделим на координатной плоскости область, показанную на рис. 24.

Вероятность того что случайный вектор принимает значения из этой области, равна . В соответствии с формулой для условной вероятности из п. 1.2.3 .Условная функция распределения получается в результате предельного перехода: .По теореме о среднем, внутри интервала найдется точка , такая, что ,

поэтому .Условная плотность распределения есть производная от условной функции распределения: .Аналогично .Обычно обозначают и . В этих обозначениях из полученных формул следует: , С учетом полученных соотношений перепишем формулы для маргинальных распределений в виде: , .Это формулы полной вероятности для непрерывных случайных величин.Поскольку = , получаем формулу Байеса для непрерывных случайных величин: .Если  и  независимы, то , и поэтому .Справедливо и обратное,если , то следует независимость  и .Признак независимости случайных величин: 2 случайные величины независимы, когда их совместная плотность распределения может быть представлена, как произведение маргинальных плотностей распределения этих величин. Характеристическая функция двумерного случайного вектора. Двумерный случайный вектор задан плотностью распределения (x,y) и в результате “испытаний” может принимать значения .Обозначение и математическое определение характеристической функции вектора : ,где - двумерный вектор, с компонентами и .В соответствии с математическим определением мат.ожидания .Св-а характеристических ф-й двумерного вектора: , .К этим свойствам добавляется еще одно. Пусть  и  - независимы, и  =  + . Тогда ,то есть, характеристическая функция суммы независимых случайных величин равна произведению характеристических функций этих величин .Плотность распределения суммы двух независимых случайных величин Поскольку инезависимы, совместная плотность распределения (x,y) = . Сделаем замену x = z - y : (z - y,y) = и найдем маргинальную плотность распределения .Если сделать замену y = z - x ,получим .Если  =  + и величины инезависимы, то характеристическая функция их суммы - произведение характеристических функций слагаемых . Прямое преобразование Фурье этого произведения- есть свертка плотностей распределения слагаемых: .Применительно к плотностям распределения эту операцию иногда называют композицией.

22.Многомерные случайные величины,функцияраспределения и плотность распределения,моменты,ковариационнаяматрица,формулы для мат ожидания и ковариационной матрицы линейной функции от случайного вектора: y=Ax+b.