тензор

7. Фундаментальная матрица.

(1.3)

где для скалярного произведения орт базиса введено обозначение Выражение (1.3) показывает, что ковариантные компоненты вектора могут быть представлены в виде линейных комбинаций его контровариантных компонент. Коэффициентами в этих комбинациях в мерном пространстве являются величин которые принято записывать в виде квадратной матрицы обозначаемой g. Матрицу g называют фундаментальной матрицей. В частности, в трехмерном пространстве фундаментальная матрица имеет вид

(1.4)

Тот факт, что элементы матрицы g равны скалярным произведениям соответствующих базисных векторов, позволяет сделать следующие выводы о ее свойствах:

- фундаментальная матрица симметричная

- фундаментальная матрица неособенная, то есть

Так как матрица g неособенная, то существует матрица обратная матрице g. Обозначим ее элемент . Тогда ,где алгебраическое дополнение элемента определителя матрицы g.

Умножая матрицы g и ,мы, естественно, получим единичную матрицу . Используя индексную форму записи, ту же операцию можно записать и «на языке» матричных элементов

. (1.5)

Здесь (1.6) дельта символ Кронекера.

Покажем теперь, что контровариантные компоненты вектора можно также выразить в виде линейной комбинации его ковариантных компонент. Умножая обе части выражения (1.3) на и учитывая (1.5), получаем ,

или (1.7)

Выражения (1.3) и (1.7) решают поставленную задачу. Заметим, что в ортонормированной системе координат фундаментальная матрица принимает вид единичной. Следовательно, то есть контровариантные и ковариантные компоненты совпадают.

Метрический тензор

Метрический тензор – это симметр. тензорное поле, посредством которого задаются скалярное произведение векторов, длины кривых, углы между кривыми.

|∆r|²=∆r∆r=∆xⁱe_i∆x^je_j=e_ie_j∆xⁱ∆x^j=g_ij∆xⁱ

Завершив затянувшийся экскурс в общие вопросы, возвращаемся к тому, с чего все началось – к формуле для длины вектора:

Сейчас мы умеем записать ее в сокращенном виде:

Вспомним теперь, что: Подставляя в (1.3а), имеем:

Это общий вид тензорного выражения для длины, использующее контравариантные

(естественные) компоненты.

Тензор g_ik есть метрический тензор пространства. Метрический тензор это как бы правило вычисления длины любого вектора по значениям его компонент. Применительно к (1.5) говорят, что здесь вектор xⁱ свертывается с метрическим тензором и получается вектор x_i. То есть метрический тензор это еще и способ преобразования компонент – от контравариантных к ковариантным и наоборот.

Теперь для длины вектора мы теперь имеем ряд вариантов (на выбор):

Свойства метрического тензора

Мы не утруждали себя вычислением составляющих метрического тензора, и потому кажется, что про их значения ничего сказать нельзя. Но это не так. Во-первых, вспомним, что коэффициенты в выражении для длины мы (из соображений симметрии) вводили так, что g_ik=g_ki Вот вам и первое свойство метрического тензора: его матрица симметрична (элементы, симметричные относительно главной диагонали, одинаковы. Далее, в декартовых координатах то есть, между x_i и xⁱ нет разницы. Делаем второй вывод: именно здесь метрический тензор выглядит крайне просто:

Члены со смешанными индексами ( i≠k) в выражение для длины не входят. Итак, метрический тензор для случая прямоугольных координат является диагональной матрицей,

причем все элементы главной диагонали равны единице.