тензор

9. Тензор деформации.

σ=Еε-Закон Гука

σ_ms=γ_msijε_ij, γ_msij-тензор упругости.

10. Основные действия тензорной алгебры

11. Комбинированные действия тензорной алгебры: жонглирование, симметрирование и альтернирование.

Операция жонглирования служит для изменения строения тензора, но не изменяет его ранг.

Чтобы выполнить эту операцию необходимо умножить данный тензор на метрический тензор соотв-го строения, после чего выполнить свертку по индексу метрического тензора и индекса данного тензора.

а_i=g_ikа^k, аⁱ=g^ikа_k.

Для того, чтобы выполнить операцию симметрирование (альтернирование) необходимо:

1) переставить указанные индексы местами;

2) сложить полученный тензор с первоначальным (вычесть полученный тензор из первоначального);

T_ij+T_ji=S_ij; - симметрирование

T_ij+T_ji=S_ij; - альтернирование

12. Св-ва симметрии тензоров:

1) симметричные (S)

2)антисимметричные (A)

3) никакие (T)

Тензор Т назыв симметричным (антисимметр) по указанной паре индексов, например i и к, если при перестановке этих индексов местами компонента тензора не изменяется (измен свой знак на противоположный)

Св-ва симметрии позволяют установить общее число различных компонент данного тензора.

N_S=1/2n(n+1)-число разл компонент у симметр тензора

N_A=1/2n(n-1)-у антисимметр тензора.

Т-ма:св-ва симметрии,кот обладает данный тензор явл инвариантными.

Всякий антисимметр тензор второго ранга эквивалентен вектору

13. Псевдотензоры. Алгебраические операции над псевдотензорами. Построение псевдотензоров.

Псевдотензором называется тензорная (векторная) величина, получающая дополнительный множитель (-1) по сравнению с истинными тензорами соответствующего ранга (векторами, скалярами) в случае преобразований координат с отрицательным детерминантом матрицы преобразования, то есть при преобразовании, меняющем ориентацию базиса. В остальном же псевдотензор преобразуется как истинный тензор (вектор, скаляр), при положительном детерминанте матрицы преобразования координат — в точности как истинный тензор (вектор, скаляр).

Алгебраические операции над псевдотензорами:

1. Истинный тензор +псевдотензор = не существует;

2. Ист. тензор (*) псевдот. =псевдотензор;

3) Псевдот (*) псевдот. =истин.тензор;

4) свертка псевдот = псевдотензор.

Построение псевдотензора:

И_ijkП_nm=C_ijknm

14. Псевдотензор Леви-Чивита. Его свойства.

Псевдотензор Леви-Чивита в 3-х мерном пространстве принято назыв. абсолютно-антисимметричным псевдотензором 3-го ранга, компоненты которого равны:

{+1,если τ=2m

e_ijk={-1, если τ=2m+1

{0, если хотя бы два индекса совпадают

τ- число перестановок индекса.

Свойства псевдотензора Леви-Чивита:

15. Главные оси и главные значения тензора второго ранга. Приведение тензора второго ранга к системе главных осей.

Векторы а, которые под действием тензора Т изменяют только свой модуль назыв. собственными или главными векторами тензора Т.

Скалярные множители λ в выражении T_ij*b_j=λa_i принято назыв. собственными значениями тензора Т.

Оси, направления которых определяются собственными векторами тензора Т принято назыв. главными осями тензора Т.

16. Классификация тензоров второго ранга по их собственным значениям. Инвариантные представления тензоров второго ранга.

1) λ₁=λ₂=λ₃=λ (шаровой (изотропный)). В этом случае все три собств. вектора выбираются произвольно, но так, чтобы они были взаимноперпендик.

2) λ₁=λ₂≠λ₃ (одноосный)

3) λ₁≠λ₂≠λ₃ (двуосный, все собств. векторы определены однозначно)

17. Тензорные поверхности тензора 2-го ранга

18. Главные инварианты тензора второго ранга. Связь главных инвариантов с собственными значениями тензора.

19.

Координатной пов-стью назыв поверхн в каждой точке которой данная коорд-та принимает постоянное значение.

Коорд линия - линия, при движении вдоль которой измен-ся одна из координат.

Базис, орты которого построены по ф-ле (4) назыв локальным базисом.

20. Физический базис. Коэффициенты Ляме. Физические компоненты вектора.

21.

Опр. Коэффициенты и в выражении (7) принято называть символами Кристоффеля.

- символ Кристоффеля I-го рода; - символ Кристоффеля II-го рода.

Свойства символов Кристоффеля:

1. В декартовой системе координат все символы Кристоффеля равны нулю.

2. Символы Кристоффеля симметричны по не тензорным индексам

= , =

Док-во:

3. = Символы Кристоффеля I-го и II-го рода связаны между собой

= через операцию жонглирования.

4. Связь символов Кристоффеля с компонентами метрического тензора.

=

В трёхмерном пространстве всего 54 символа Кристоффеля.

Док-во:

1. ( - ) Сложим ур. 2 и 3 вычтем рез из ур. 1 получаем:

2. ( + )

3. 

22-23.

24.

Свойства ковариантной производной:

1. В прямоугольных системах корд. ковариантная производная совпадает с обычной.

2. Операция ковариантного диф-ия повышает ранг тензора на одну единицу.

3. Ковариантная производная суммы и произведения вычисляется АО формулам математического анализа.

Докажем правило диф-ия произведения:

4. Теорема Риччи. Ковариантная производная метрического тензора равна нулю. Доказательство: