тензор

8.Тензор моментов инерции.

Тензор инерции — в механике абсолютно твердого тела — величина, связывающая момент импульса тела и кинетическую энергию его вращения с его угловой скоростью:

где - тензор инерции , - угловая скорость, - момент импульса

— здесь использована матричная запись, в компонентах это выглядит так:

Используя, например, определение момента импульса системы N материальных точек (перенумерованных в формулах ниже индексом k): и кинематическое выражение для скорости через угловую скорость: и сравнивая с формулой, выражающей момент импульса через тензор инерции и угловую скорость (первой в этой статье), нетрудно получить явное выражение для тензора инерции: или в непрерывном виде: где r — расстояния от точек до центра, относительно которого вычисляется тензор инерции, а r_i — координатные компоненты соответствующих отрезков, i и j — номера координат (от 1 до 3), индекс же k (от 1 до N) в дискретной формуле нумерует точки системы или маленькие части, её составляющие.

Уже из этих формул явно видно, что тензор инерции любого тела зависит от точки, относительно которой он рассчитан. Обычно выделенную роль играет тензор инерции относительно центра масс тела (тогда p в третьей формуле — это просто импульс тела). Также может быть удобно пользоваться моментом инерции, рассчитанным относительно закрепленной (неподвижной) точки тела или точки, находящейся на закреплённой оси вращения. Пересчет тензора инерции для нового центра, зная его относительно старого, позволяет легко осуществить теорема Штейнера (она же позволяет сделать это и в виде пересчета, например, формулы кинетической энергии, позволяя, таким образом, оперировать только тензором инерции относительно центра масс).

Из этих же формул видно, что это симметричный тензор, то есть J_ij=J_ji.

Как и любой симметричный тензор, тензор инерции может быть диагонализован, то есть можно найти три ортогональные оси координат (собственные оси, орты которых являются собственными векторами и образуют собственный базис тензора инерции) — жестко связанные, конечно, с твёрдым телом, - в которых матрица тензора инерции диагональна, и её собственные числа (собственные числа тензора инерции) определяют главные моменты инерции тела.

Нетрудно видеть, что главные моменты инерции совпадают с осевыми моментами инерции относительно главных осей:

Выбором соответствующей системы координат матрица тензора инерции может быть приведена к диагональному виду. Для этого нужно решить задачу о собственных значениях для матрицы тензора

Где, Q— ортогональная матрица перехода в собственный базис тензора инерции. В собственном базисе координатные оси направлены вдоль главных осей тензора инерции, а также совпадают с главными полуосями эллипсоида тензора инерции. Величины — главные моменты инерции. Выражение (1) в собственной системе координат имеет вид: Откуда получается уравнение эллипсоида в собственных координатах. Разделив обе части уравнения на

и произведя замены: получаем канонический вид уравнения эллипсоида в координатах

Расстояние от центра эллипсоида до некоторой его точки, связано со значением момента инерции тела вдоль прямой, проходящей через центр эллипсоида и эту точку: