3) Поиск решения задачи.

Деятельность по решению задач не является алгоритмической, чаще всего это творческая деятельность. Для того чтобы овладеть этой деятельностью, учащиеся должны владеть некоторыми ориентирами по поиску решения задач. Как правило, в методической литературе указываются некоторые из них (их ещё называют эвристиками). Эвристики представляют собою указания или рекомендации (то есть не что иное, как ООД) по отысканию решения задачи.

Приведём некоторые рекомендации, которые можно использовать при решении конкретной задачи, а также на специальных уроках обучения решению задач. Для учащихся они служат ООД.

• Прочитав задачу, старайтесь установить её вид.

• Если задача знакомая, то примените к ней общее правило.

• Если задача незнакомая, то попробуйте ввести в условие вспомогательные элементы, параметры, выполните дополнительные построения.

• Переформулируйте задачу, замените её равносильной.

• Выполните краткую запись по условию задачи.

• Попытайтесь преобразовать данные или искомые, используя, например, их определения, свойства или признаки. При этом полезно вспомнить свойства данных понятий и признаки искомых.

• Попробуйте решить лишь часть задачи.

• Найдите частный случай, для которого данная задача решается легко.

Пример 3. Когда ученики впервые встречают задачу «Сколькими нулями оканчивается число 27! ?», то для многих из них она непосильна. Процесс поиска решения приводит к следующим переформулировкам:

1)Сколько раз число 10 содержится множителем в произведении 27!?

2) На какую наибольшую степень числа 10 делится 27!?

3) В какой наибольшей степени содержатся числа 2 и 5 в разложении числа 27! на простые множители?

4) В какой наибольшей степени содержится число 5 в разложении числа 27! на простые множители?

Последняя формулировка делает решение данной задачи тривиальным (пример заимствован из книги [77]).

Очевидно, дидактическая ценность подобных рекомендаций будет невысокой, если у учащихся недостаточно опыта решения задач. Главной рекомендацией для учащихся должны стать слова венгерского методиста-математика Д. Пойя:

«Научиться решать задачи можно лишь, решая их».

Долг учителя – помочь учащимся приобрести опыт решения задач. Однако помощь учителя не должна быть чрезмерной. Вопросы и советы учителя должны вызывать и развивать мыслительную деятельность школьников, помогать развивать творческий подход к решению задач. Они должны обладать общностью для различных задач, иначе ученики каждую задачу будут решать как новую. В то же время вопросы и советы учителя должны быть естественны и просты. Они должны оказывать ученику действенную, но неназойливую помощь.

Одним из методов обучения поиску решения задач является диалог аналитико-синтетического характера и синтетического (см.п. 4.2), цель которого – отыскание решения задачи. Важное значение такой диалог играет при поиске решения сюжетных задач.

Пример 4. Рассмотрим задачу: Турист ехал 6 часов по 56 км в час. После этого ему осталось проехать в 4 раза больше, чем он уже проехал. Требуется узнать весь путь туриста.

Диалог синтетического характера по поиску решения задачи.

Вопросы учителя	Предполагаемые ответы учеников
Турист ехал 6 часов по 56 км в час. Что можно узнать по этим данным?	Расстояние, которое проехал турист за 6 часов.
Каким действием это можно сделать?	Нужно 56 умножить на 6.
Пройденное расстояние 56·6 км, а оставшееся расстояние в 4 раза больше. Что можно найти по этим данным?	Можно найти оставшийся путь.
Каким действием?	(56·6)·4
Зная пройденное расстояние и оставшееся, что можно найти по этим данным?	Можно найти весь путь туриста.
Как это можно сделать?	56·6 + (56·6)·4.

Диалог аналитико-синтетического характера по поиску решения задачи.

Вопросы учителя	Предполагаемые ответы учеников
Что требуется узнать в задаче?	Весь путь туриста.
Из каких частей он складывается?	Из пройденного пути и оставшейся части.
Что надо знать, чтобы найти весь путь туриста?	Надо знать пройденный путь и оставшуюся часть пути.
Что надо знать, чтобы найти пройденный путь туриста?	Надо знать скорость и время движения туриста.
Что уже известно?	Известны и время, и скорость.
Как найти пройденный путь туриста?	56·6
Какие величины нужно знать, чтобы найти оставшуюся часть пути туриста?	Нужно знать скорость и время.
Что известно по условию задачи?	Ничего не известно.
Что же известно про оставшийся путь по условию задачи?	Оставшаяся часть в 4 раза больше пройденного пути.
Что можно найти по этим данным?	Оставшийся путь.
Как найти оставшийся путь?	Пройденный путь умножить на 4.
Можно ли по этим данным найти весь путь?	Можно.
Как это нужно сделать?	Сложить пройденный путь и оставшуюся часть пути.

Беседа по поиску решения задачи может завершиться составлением плана её решения, тогда как запись решения ученики выполняют самостоятельно. Решение задачи можно не записывать, если задача понятна всем, и не ставилась цель обучать грамотной записи решения.

Поиск решения задачи может быть организован и в форме самостоятельной работы учащихся с учебником под руководством учителя.

Пример 5. Рассмотрим задачу: Точки А, В, С, D не лежат в одной плоскости. Докажите, что прямая, проходящая через середины отрезков АВ и ВС, параллельна прямой, проходящей через середины отрезков АD и СD.

1. Анализ текста задачи.

• Вспомните, сколько точек из четырёх данных будут всё-таки находиться в одной плоскости, сделайте чертёж к задаче. Для единообразия обозначьте первую из рассматриваемых прямых КL, вторую – MN (см. рис. 16). (K,L,M,N соответственно середины сторон AB, BC, CD, AD).

• П рочитайте задачу ещё раз. Просмотрите, все ли условия задачи учтены и нанесены на чертёж.

2. Поиск решения.

• Прочитайте требование задачи.

• Вспомните, как можно доказать параллельность двух прямых КL и MN. Что для этого нужно знать?

• Признаков параллельности существует немало. Проанализируйте условие ещё раз. Вспомните понятия и факты, которые связаны с серединами отрезков. Подумайте, какое дополнительное построение на чертеже необходимо выполнить?

• Выберите нужный признак параллельности прямых.

• Кто может решить задачу?

В данном случае учитель только направляет работу учеников. Если ученики не сумели решить задачу самостоятельно, то учитель переходит к диалогу с учениками.