1.2. Концентрация зарядов в полупроводнике

Равновесная концентрация зарядов в собственном полупроводнике

Вероятность s(W) нахождения свободного электрона в энергетическом состоянии W определяется статистической функцией Ферми — Дирака:

где W_F – уровень энергии, которой электрон может обладать с вероятностью s = l/2 (уровень Ферми); в собственном полупроводнике он находится примерно посередине запрещенной зоны: W_F ~ (W_c + Wv)/2; kT – средняя энергия теплового движения микрочастицы при температуре Т К; k=1,38 10^–23 Дж/К — постоянная Больцмана.

Из соотношений (1.1), (1.2) можно определить концентрацию электронов проводимости для собственного полупроводника:

n_i =

При умеренных температурах, когда ехр[(W – W_F)/kT] >> 1, концентрация электронов проводимости для собственного полупроводника

n_i = N_c ехр[(W – W_F)/kT] = N_c ехр(– W/2kT),

где N_c – эффективная плотность состояний в зоне проводимости (N_c= 5 10¹⁹ см^–3 для германия, N_c=2*10²⁰ см^–3 для кремния).

Число дырок в идеальной кристаллической решетке собственного полупроводника равно числу свободных электронов:

p_i = n_i

На основании приведенного соотношения можно сосчитать, что при комнатной температуре, т. е. при Т = 300 К, число свободных электронов в германии n_i, = 2,5·10¹³ см^–3.

Поскольку в кристаллической решетке германия в каждом 1 см³ объема находится 4,4·10²² атомов, один свободный электрон приходится на 1 млрд. атомов вещества. В кремнии при той же температуре число свободных электронов на три порядка меньше вследствие более высокой энергии ионизации: n_i = 1,4 10¹⁰ см^–3

Полученные величины концентраций электронов и дырок представляют собой результат динамического равновесия двух процессов – генерации и рекомбинации подвижных носителей заряда.

Скорость рекомбинации, т. е. число исчезающих в единицу времени электронно–дырочных пар, определяется свойствами полупроводника; кроме того, она пропорциональна концентрации электронов и дырок, так как чем больше число носителей заряда, тем вероятнее их встреча, завершающаяся рекомбинацией. Таким образом, скорость рекомбинации

^v_рек ^{= γ}_i ⁿ_i^p_i ^{= γ·n2}_i^,

где ^γ_i – коэффициент рекомбинации, определяемый свойствами полупроводника.

Скорость генерации – число освобождающихся в единицу времени электронно–дырочных пар – зависит от температуры полупроводника и ширины его запрещенной зоны.

В стационарном режиме должно существовать динамическое равновесие – скорость генерации должна равняться скорости рекомбинации:

^v_ген ^{= γ·n2}_i

Отсюда n²_i = v_ген /γ .

Равновесная концентрация зарядов в примесном полупроводнике

Полупроводник с донорной примесью. Обозначим концентрацию донорной примеси N_Д. Так как ее энергия ионизации ∆W_n очень невелика (∆W_n ~ 0,01 эВ, см. табл. 1.2), то при комнатной и даже более низкой температуре практически все примесные атомы оказываются ионизированными; кроме того, согласно соотношению (1.4), ионизируется некоторая часть атомов основного вещества n_i. Таким образом, концентрация электронов проводимости в полупроводнике с донорной примесью

п_п = N_я + п_i, (1.6)

т. е. она больше, чем в беспримесном полупроводнике. Обычно концентрация донорной примеси N_Д>>n_i и

п_п ~ N_Д . (1.7)

Поскольку скорость рекомбинации носителей заряда в полупроводнике пропорциональна концентрации электронов и дырок:

v_рек= n_np_n,

а скорость генерации при малых концентрациях примеси остается той же, что и в собственном полупроводнике:

v_ген = n

при динамическом равновесии, когда v_ген = v_рек,

n_i = n_nр_n.

Отсюда равновесная концентрация дырок в примесном полупроводнике

р_n =n²_i/n_n = n²_i/N_Д,, (1.8)

т. е. она значительно ниже, чем в беспримесном полупроводнике. Поэтому в данном случае дырки называют неосновными носителями заряда, а электроны, составляющие подавляющую массу подвижных носителей, – основными носителями заряда. Полупроводник с донорной примесью называют электронным полупроводником или полупроводником n–типа (от лат. negative – отрицательный).

Положение уровня Ферми W_Fn в полупроводнике n–типа можно определить с помощью соотношений (1.2) и (1.4). Для частичной ионизации примесей получаем

При Т = 0 К уровень Ферми находится посередине между дном зоны проводимости W_c и уровнем доноров W_n, а с повышением температуры он постепенно смещается к середине запрещенной зоны.

Полупроводник с акцепторной примесью. Пусть концентрация акцепторов равна N_a. Так как акцепторные атомы при комнатной температуре практически все ионизированы (см. табл. 1.3), то концентрация дырок

р_р = N_a + р_i, (1.10)

где р_i —концентрация дырок, обусловленная ионизацией атомов основного вещества.

Обычно

p_i<<N_a и р_р ≈ N_a.

Концентрация электронов определяется соотношением аналогичным (1.8):

n_p = n_i/p_p = n_i/N_a. (1.11)

Электроны в данном случае являются неосновными носителями заряда, а дырки – основными носителями заряда. Полупроводник с акцепторной примесью называют дырочным полупроводником или полупроводником р-типа (от латинского positive – положительный).

Положение уровня Ферми W_Fp в полупроводнике р–типа определяется соотношением, аналогичным (1.9): При Т = 0 К уровень Ферми находится между потолком валентной зоны W_v и уровнем акцепторов W_p, с повышением температуры он смещается к середине запрещенной зоны.

W_Fp = (Wc +Wn)/2 + kT/2 ln(2Nc/Nд).

Неравновесная концентрация зарядов в полупроводнике

В полупроводнике под влиянием различных энергетических воздействий может возникнуть неравновесная концентрация зарядов, после прекращения воздействия избыточные носители постепенно рекомбинируют и концентрация вновь становится равновесной.

Образование неравновесных носителей заряда может происходить, например, при освещении полупроводника. Кванты света с энергией hν = 1,5 – 3 эВ при воздействии на полупроводник вызывают появление в нем дополнительных электронно – дырочных пар. В полупроводниковых диодах и транзисторах неравновесные носители заряда образуются, как увидим далее, при прохождении электрического тока.

Процесс рекомбинации электронов и дырок может происходить либо прямым путем – из зоны в зону (рис. 1.4, случай А) либо через локальные энергетические уровни в запрещенной зоне, называемые центрами рекомбинации или ловушками (рис. 1.4, случай Б). Второй механизм рекомбинации является более вероятным, чем первый, так как здесь движется лишь один носитель заряда, другой неподвижен, и вероятность сближения их на расстояние, пpи котором возможна рекомбинация (~ 0,1 нм), значительно выше, чем в случае, когда оба носителя заряда

перемещаются по кристаллической решетке.

Рис. 1.4

Центры рекомбинации создаются примесями, имеющими энергетические уровни вблизи середины запрещенной зоны полупроводника. К таким примесям относятся медь, никель, кобальт, золото. Дефекты решетки, донорные и акцепторные примеси также могут создавать центры рекомбинации.

Скорость рекомбинации. Пусть в начальный момент при t = 0 концентрация р = р_о. При небольших превышениях неравновесной концентрации р над равновесной р_п можно считать, что число рекомбинирующих в объеме частиц d(p – р_п) пропорционально избыточной концентрации (р – р_п) и времени dt:

d(p - p_n) = а'(p - p_n)dt_, (1.13)

где а'— коэффициент, определяемый типом полупроводника.

Знак минус указывает, что избыточная концентрация со временем убывает.

Интегрируя, находим

ln(p - p_n) = –аt + С.

Определив постоянную интегрирования C = ln(p_о – p_n)_, приводим это соотношение к виду

р – р_n = (p_о – p_n)exp(–t/τ_p) (1.13.a)

Здесь τ_p =1/a – время жизни неравновесных носителей заряда (дырок) в полупроводнике; за время t = τ_p концентрация неравновесных носителей заряда в полупроводнике убывает в 2,7 раза.

Дифференцируя выражение (1.13.а), определим скорость рекомбинации неравновесных носителей заряда в объеме полупроводника:

dp/dt = – (p – p_n)/ τ_p

Но рекомбинация может происходить не только в объеме, но и на поверхности полупроводника, а скорость ее протекания может быть различной даже в одном и том же типе полупроводника. Время жизни неравновесных носителей заряда в германии и кремнии может составлять широкий диапазон значений (от долей микросекунды до тысяч микросекунд) в зависимости от количества и типа примеси, а также от состояния и чистоты поверхности. Последнее объясняется тем, что на поверхности полупроводника всегда имеются различные дефекты структуры, а также пленки окислов и молекулы адсорбированных газов, которые могут образовывать большое число локальных уровней, вызывающих интенсивный процесс рекомбинации электронно-дырочных пар. Роль поверхностной рекомбинации тем выше, чем больше отношение площади поверхности образца к объему, т. е. чем меньше размеры образца. Условимся считать в дальнейшем, что τ представляет собой эффективное время жизни, определяемое как объемной, так и поверхностной рекомбинацией носителей заряда, а для неоднородного полупроводника – также скоростью и направлением движения носителей заряда [6].