- •1.Понятие функции нескольких переменных.
- •2. Предел и непрерывность функции двух переменных.
- •3. Непрерывность.
- •4. Частные производные.
- •6. Необходимое условие экстремума функции двух переменных.
- •7. Достаточное условие экстремума ф–ции двух переменных.
- •10. Методы наименьших квадратов…
- •Метод наименьших квадратов
- •11.Понятие неопределенного интеграла
- •17. Интегрирование рациональных функций.
- •18. Интегрирование рациональных функций.
- •20. Приложение определенного интеграла в геометрии и экономике.
- •22. Формула Ньютона-Лейбница.
- •23,24. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле.
- •25.Площадь плоской фигуры.
- •26.Объем тела вращения.
- •28. Несобственные интегралы.
- •Интегралы с бесконечными пределами.
- •29. Несобственные интегралы от неограниченной функции.
- •30. Приближенное вычисление опред. Интеграла
- •31. Дифференциальные уравнения (основные понятия).
- •32. Ду первого порядка. Задача и теорема Коши.
- •35.Ду с разделяющимися переменными.
- •37 Линейные ду первого порядка
- •39. Линейные нердн. Ур-ния 2-го порядка
- •40. Линейные неоднородные ду второго порядка с постоянными коэффициентами и спец-й правой частью.
- •41. Метод вариации произвольной постоянной
- •42.43. Понятие числового ряда и сумма ряда. Геометрический ряд. Некоторые свойства числовых рядов.
- •44. Необходимый признак сходимости.
- •45. Признак сравнения
- •46. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Оценка остатка.
- •47. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость.
- •48. Понятие функционального ряда. Область сходимости.
- •49.Степенные ряды. Теорема Абеля
- •50.Свойства степенных рядов
- •51,52.. Разложение в степенные ряды. Ряд Тейлора и Маклорена.
- •53. Разложение функций sin X, cos X, ex в ряд Маклорена. Биномиальный ряд
46. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Оценка остатка.
(1)Ряд a1-a2+a3-a4+…+(-1)n-1*a1+…, an>0 (-a1+a2-a3+a4-…+(-1)n*an-1+…) называется знакочередующимся рядом.
Признак Лейбница: Если члены знакочередующегося ряда (1) не возрастают по абсолютной величине, т. е.
(2)a1>=a2>=a3>=an-1>=an>=…и
(3) an=0, то такой ряд сходится и его сумма 0<S<=a1
47. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость.
Ряд наз-ся знакопеременным, если его членами являются действительные числа произвольного знака.
Пусть дан знакопеременный ряд a1+a2+…+an+…= (1), где числа a1, a2,…, an,… могут быть как положительными, так и отрицательными. Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда: (2).
Определение: Если сходится ряд (2), то ряд (1) наз-ся абсолютно сходящимся. Если ряд (1) сходится, алгоритм ряд (2) расходится, то ряд (1) называется условно(или неабсолютно) сходящимся.
Теорема: Если знакопеременный ряд абсолютно сходится, то он сходится.
48. Понятие функционального ряда. Область сходимости.
Пусть , n принадлеж. натур. – ф-ция опред. на мн-ве Х. Функциональным рядом назыв. выражение вижа (1)
Мн-во D всех значений х, при кот-ых ряд (1) сход. назыв. областью сходимости функц. ряда
49.Степенные ряды. Теорема Абеля
Степ рядом наз ряд вида =a0+a1x+a2x2+…+anxn+….(1)
Где a0,a1,a2,an….действ числа. Они наз коэф ряда an(x)=anxn – общий член ряда.
Теорема Абеля:
Если (1) сход при х=х0 (х0 не =0) то он обсол сход при всех х удовл нер-ву . Если (1) расх при x=x1 то он расх при всех удовл нер-ву
Интервал и радиус сходимости степенного ряда. Свойства степенных рядов.
Опр интерв (-R;R) внутр котор степен ряд сход, а вне его расх, назыв интерв сход ряда.
R- радиус сход ряда. Вывед ф-лу для рад сход.
Пусть дан степенной ряд ; an не = 0 n =1,2,3…
Прим призн Д’Ламбера к ряду сост из обсол величин:
тогда ряд сход (если lim < 1 ). Предпол, что не=0 тогда можно утвержд, что ряд сход при всех худовл нер-ву сх
для всех расх => радиус сходится
аналог если восп признаком коши получим
при х= R вопр о сход для кажд ряда расматр индивид
50.Свойства степенных рядов
1. сума степен. ряда - есть ф-ия непрерыв. на любом отрезке, содержащимся внутри интервала сходимости
2. степен. ряд можно почленно интегрир. на любом отрезке, содерж. в интервале. Получ. ряд будит иметь такой же радиус сходимости как и исходный.
3. степен. ряд можно почленно дифф-ть любое число раз, радиус сход. его при это не изменится
51,52.. Разложение в степенные ряды. Ряд Тейлора и Маклорена.
Пусть f(x) имеет производные всех порядков некотор. окрестн. т. x. Рядом Тейлора для f(x) в т. х0 назыв. степен. ряд след. вида:
Если х0=0, то ряд назыв. рядом Маклорена
При выполнении некотр. условий ряд Тейлора для f(x) равен самой f(x). Говорят, что ф-ия представима в виде ф-ии степен. ряда
x принадлеж. R.
53. Разложение функций sin X, cos X, ex в ряд Маклорена. Биномиальный ряд
54. Применение рядов к приближенным вычислениям. Степенные ряды примен для вычисления с заданной точностью значений функции; для приближенного вычисления определ.интегралов, при интегрировании диф.уравнений. Для вычисления приближ значения ф-ции в её разложении в степенной ряд сохраняют первые n членов, а остальные члены отбрасывают. Чтобы получить погрешность найденного приближ значения, нужно оценить сумму отброш членов. Если данный ряд знакопостоянный, то ряд, составленный из отброш членов, сравнивают с бесконечно убывающей геом прогрессией. Если ряд знакопеременный и его члены удовлетворяют признаку Лейбница, то исп-ся оценка r<a n+1., где a n+1 - первый из отброшенных членов, т.е. ошибка приближенного вычисления не превосходит абсолютной величины первого из отброш членов.