9. Численные методы решения задачи Коши. Метод разложения в ряд Тейлора.

Один из наиболее простых для понимания подходов к решению задачи Коши основан на использовании формулы Тейлора:

Отбрасывая остаточный член, получаем приближённое равенство

.

Если значение решения y в точке t известно, то в силу равенства значение производной также можно считать известным.

Найдём вторую производную: .

Использование приближённой формулы приводит к явному одношаговому методу: .

9. Численные методы решения задачи Коши. Метод Эйлера, его геометрическая интерпретация, оценка погрешности метода Эйлера.

- точное решение

- приближённое решение

Геометрическая интерпретация одного шага метода Эйлера заключается в аппроксимации решения на отрезке касательной - уравнение касательной.

- расчётная формула метода Эйлера.

Метод Эйлера является устойчивым на конечном отрезке.

Погрешность аппроксимации

Постановка задачи приближённого решения задачи Коши:

Требуется найти функцию ,

, - приближённое решение задачи, полученное аналитическим методом.

Оценим погрешность аппроксимации метода Эйлера:

,

, - порядок аппроксимации первый.

13.Численные методы решения задачи Коши: модификации метода Эйлера второго порядка точности, геометрическая интерпретация, оценка погрешности методов.

О дин шаг метода Эйлера приводит к значительной величине локальной погрешности. Надо бы ее уменьшить. Пусть y(t) – решение дифф. ур-ния y’(t)=f(t,y(t)) , удовлетворяющее условию , далее пусть (1) – угловой коэффиц. секущей, проходящей через точки и графика ф-ции y(t)(рис №1). Ясно, что «метод», состоящий в вычислении по формуле (2) имеет нулевую локальную погрешность. Надо научиться вычислять . Интегрируя обе части уравнения y’(t)=f(t,y(t)) по t от до и используя формулу Ньютона –Лейбница ,приходим к равенству Из равенств (1) и (3) следует, что (4) Применение для приближенного вычисления интеграла, стоящего в правой части выражение (2), формулы левых прямоуг-ков немедленно приводит от (2) к методу Эйлера. Известно, что больший пор. точн. имеет фор-ла трапец. Прямое ее применение к вычислению приводит к правилу трапеции: (5) Этот метод имеет 2ой порядок точности, но явл. неявным. Построим на основе правила трапеций явный метод. Для этого подставим в правую часть формулу (5) значение , полученное методом Эйлера. В результате получим метод (6) , который называется методом Эйлера –Коши(Хьюна).Геометрич. Илл-ция кот. на рисунке № 2. Вычисления разбивают на два этапа. На первом(этап прогноза) в соответствии с методом Эйлера вычисляют грубое приближение к значению . В точке определяют угловой коэффиц. . На 2ом этапе (коррекции) вычисляют усредненное значение углового коэффиц. . Уточненное значение находят по формуле , что соответствует шагу по прямой, проходящей через точку и имеющий угловой коэффиц , равный . Метод (6), рассматривают как мод-кацию метода Эйлера, кот. имеет 2й порядок точности. Еще одну модификацию второго порядка точности можно получить с помощью формулы прямоуг-ков(центр.) , если для приближенного вычисления значения . В результате получим расчетные формулы усовершенствованного метода Эйлера.