17. Аппроксимация, устойчивость и сходимость явных методов решения задачи Коши.

Определение: Будем называть аппроксимацией сеточную ф-цию ,кот. равна разности между левой и правой частью метода на точном решении задачи. Оценим погрешность аппроксимации для м.Эйлера . Порядок аппрок-ции м.Эйлера – первый. Устойчивость диф-ной задачи:(1) -нач.условие, f(t,y(t)) – пр. часть. Воз-щеная задача: (2) Вычтем из (1) (2), введм ф-цию

. (3) ур-е лин. Неодн.: (4) Ф-ла (4) харак-ет ф-цию ошибки - погрешность вычисления правой части. <0 , то задача является устойчивой

_{Определение: Численный метод наз-ся устойчивым если выполянется следующее неравенство}

Сходимость: Пусть y(t) – решение задачи Коши. Назовем глобальной погрешностью численного метода сеточную ф-цию со значениями в узлах . В качестве меры абсолютно погрешности метода примем величину E(h)= Численный метод задачи Коши называется сходящимся, если для него E(h)->0 при h->0. Принято говорить, что метод сходится с Р-м порядком точности, если для погрешности справедлива оценка E(h) ,p>0.Теорема: Пусть численный метод устойчив на конечном отрезке и имеет порядок аппроксимации, равный р. Тогда если начальные значения заданы с р-м порядком точности, то и метод сходится с р-м порядком точности.

15. Сходимость метода Эйлера.

Теорема(1): Пусть численный метод устойчив на конечно отрезке и имеет порядок аппроксимации, равный р.Тогда если начальное значение значения заданны с р-м порядком точности, то и метод сходится с р-м порядком точности.Док-во: Пусть - погрешность аппроксимации, положим . Равенство позволяет утверждать, что сеточная функция является решением дискретной задачи Коши Устойчивость метода означает выполнение неравенства которое в силу равенств и можно переписать как: Учитывая что

, правую часть неравенства оцениваем величиной . Итак Т.к. метод Эйлера устойчив на конечном отрезке и имеет первый порядок аппроксимации, то из теоремы (1) следует, что он сходится с первым порядком точности. Точнее верна следующая теорема: Пусть ф-ция f удовлетворяет условию .Тогда для метода Эйлера справедлива такая оценка глобальной погрешности: , где ,

Приведем док-во теоремы, не использующее теорему (1). Док-во: Пусть - погрешность аппроксимации. Перепишем ее определение в виде Полагая ,замечаем, что сеточная ф-ция является решением дискретной задачи Коши !!!!! где . Тогда в силу теоремы :(Пусть ф-ция f удовлетворяет условию . Тогда справедливо неравенство означающее,что метод Эйлера устойчив на конечном отрезке.) справедлива оценка Учитывая, что , и используя оценку , где для погрешности аппроксимации, получаем неравенство

18. Решение задачи Коши для систем дифференциальных уравнений.

Методы решения задачи Коши можно использовать и для систем ур-ний первого порядка, причем форма из записи претерпевает минимальный изменения. Следует лишь изменить в расчетных формулах числа на векторы , ф-цию f- на вектор ф-цию f и т.д. В результате дискретное ур-ние преобразуется в систему дискретных ур-ний. Например, расчетная формула метода Эйлера к решению системы y’(t)=f(t,y(t)) принимает в покоординатной форме записи вид: Аналогично, м.Рунге-Кутты 4го порядка точности пораждает для СДУ 1го порядка следующий метод: , Теорема 1.Пусть вектор ф-ция f(t,y) определена и непрерывна в слое Пт. Предположим также, что она удовлетворяет условию Липшица для всех и произвольных где L>0 – некоторая постоянная (постоянная Липшица). Тогда для каждого начального значения сущ-ет единств. Решение y(t) задачи Коши определенное на отрезке [t0,T] Теорема 2: Пусть выполнены условия теоремы 1. Далее песть y(t) – решение задачи а y*(t) – решение задачи Тогда справедлива оценка выражающая устойчивость на конечном отрезке [t0,T] решения задачи Коши по начальным значениям и правой части. Здесь . Теория численных методо решения задачи Коши для систем дифф. ур-ний имеет много общего с соответствующей теорией решения задачи Коши для одного дифф. ур-ния. В частности справедливы аналогии всех изложенных в билете № 14 результатов касающихся устойчивости и сходимости дискретных методов на конечном отрезке.Но системы ОДУ имеют новый эффект –Жесткость. Несмотря на медленное изменении искомых ф-ций расчет приходится вести с неоправданно мелким шагом h. Все попытки увеличить шаг и тем самым уменьшить время решения задачи приводят лишь к катастрофически большому росту погрешности. Обладающие таким свойством задачи получили название жестких.