- •1. Основные понятия
- •2. Динамическое представление сигналов
- •5. Ряды Фурье периодических сигналов
- •7. Спектральное представление одиночных сигналов. Интеграл Фурье. Спектры гауссовского сигнала, ф-ции Дирака, Хевисайда
- •12. Свойства автокорреляционной функции.
- •1 3. Функция автокорреляции дискретных сигналов
- •6. Спектральное представление одиночных сигналов. Интеграл Фурье. Спектры постоянного напряжения, гармонического сигнала, прямоугольного и ам импульса.
- •15. Амплитудно-модулированный радиосигнал
- •16. Дискретизация узкополосных сигналов
- •17. Сигналы с угловой модуляцией. Чм и фм.
- •18. Сигналы с угловой модуляцией. Чм и фм.
- •19. Принципы построения вч модуляторов
- •14. Виды модуляции. Условие узкополосности
2. Динамическое представление сигналов
Суть метода: реальный сигнал приближённо представляется суммой некоторых элементарных сигналов, возникающих в последовательные моменты времени:
. (1.1)
Динамическое представление - устремить к нулю длительность отдельных элементарных сигналов, и в пределе получить точное представление исходного сигнала. Есть 2 способа динамического представления.
1 представление ступенчатой функцией (функцией Хевисайда). приближённо записываем сигнал как сумму таких функций:
.
П ерейдём к пределу при Vt 0. Тогда дискретную переменную kVt можно заменить непрерывной переменной .
(1.2)
2 с помощью прямоугольных импульсов.:
(1.3)
Формулы - интегралами наложения или интегралами Дюамеля. Из них получаем соотношение: .
И з формулы: если непрерывную функцию умножить на дельта-функцию и произведение проинтегрировать по времени, то результат будет равен значению непрерывной функции в той точке, где сосредоточен импульс. структурная схема устройства, осуществляющего измерение мгновенных значений аналогового сигнала.
О но будет состоять из перемножителя и интегратора. Измерение величины мгновенного значения будет тем точнее, чем короче реальный сигнал, который приближённо представляет дельта-функцию.
Использ-ние динамич-го представления сигналов
у стройства моделируется линейными цепями. На входной сигнал любая цепь действует неким оператором, в итоге получается выходной сигнал. Цепи, для которых этот оператор является линейным, также называются линейными цепями.
.
Для линейного оператора справедливо: .
Стационарный - оператор, для которого справедливо следующее соотношение: .
В жизни ни стационарные, ни линейные системы не существуют, но в некотором интервале наблюдения условия линейности и стационарности выполняются. Представим выходной сигнал y(t) в виде интеграла Дюамеля:
Введём переходную характеристику цепи как её реакцию на функцию Хевисайда:
.
Тогда можно записать:
(1.4)
введя импульсную характеристику системы как реакцию на функцию Дирака , можно получить:
(1.5)
В силу приведённого выше равенства ,
можно записать, что импульсная реакция цепи есть производная её передаточной характеристики, т.е. .
3. Векторное представление сигналов
Для описания сигналов в векторной форме используется бесконечномерное Гильбертово пространство. в нём вводятся следующие понятия:
скалярное произведение (a,b);
норма ||a||;
расстояние ab =||a-b||
справедливо неравенство Шварца , (1.7)
причём = появляется в случае коллинеарности векторов a b.
Если сигнал s(t) - элемент Гильбертова пространства, то для него эти величины определяются так:
(1.8)
Введём несколько характеристик сигнала:
(1.9)
Пусть у нас есть два сигнала, которым соответствуют два вектора. Разберём свойства суммы этих векторов:
, т.е. .
сигналы, скалярное произведение которых =0 (взаимная энергия равна нулю), - ортогональные.
Примеры и ;
и .
Для ортогональных сигналов справедливо соотношение
Рассмотрим практическую задачу аппроксимации одного сигнала другим. Пусть необходимо сформировать на отрезке [0;T] кусок косинусоидального сигнала:
Такой сигнал мы сформировать не можем, но можем сформировать прямоугольный сигнал длительностью . каким должен быть параметр для того, чтобы этот сигнал максимально аппроксимировал исходный. Для решения лучше всего подходит векторный аппарат. Представим эти сигналы в виде векторов в некотором линейном пространстве, можно утверждать, что максимальная аппроксимация будет достигнута тогда, когда норма разности этих векторов будет минимальна. Найдём это расстояние. Будем работать с его квадратом, т.к. функция квадрата монотонна и её минимуму будет соответствовать минимум расстояния:
Взяв каждый интеграл, получим:
.
Приравняв к нулю производную , получим оптимальное значение , при котором происходит наилучшая аппроксимация сигнала.
4Разложение сигналов в обобщённые ряды Фурье
разложение - представление сигнала в виде ряда:
,
где - базисные функции.
Если эти функции образуют линейно независимый координатный базис, то такое разложение единственно, т.е. если ,
то это означает, что Ck0.
Два электрических сигнала ортогональны, если (1.10)
Для разложения сигналов надо выбрать базисные функции:
или . Это тоже ортогональна. Если выполняется условие , то функции называются ортонормированными.
Тогда разложение сигнала в ряд выполняется так: .
Домножим скалярно на i , получим:
Таким образом: (1.11)
Первая формула - обобщённыq ряд Фурье,
вторая определяет коэффициенты этого ряда.
Физический смысл этих операций - коэффициенты ряда Фурье характеризуют энергию сигнала: .
Совокупность коэффициентов {Ck} - спектр.
базис удобнее выбирать так, чтобы ряд быстрее сходился.
примеры базисных функций:
Экспоненциальные функции:
Этот базис является ортогональным для любого применяется для представления гармонических сигналов.
Система функций Уолша {walk()}(см. рис):
Этот базис является ортогональным на отрезке
[-0,5;0,5] и применяется для представления цифровых сигналов.
Система ф-ций на базе полиномов Лежандра:
, - полиномы Лежандра.
Анализатор спектра
Самая простая схема анализатора спектра. подаём сигнал на вход цепи, импульсная характеристика которой совпадает с необходимой базисной функцией. Это вытекает из того, что выражение для интеграла Дюамеля по своей структуре похоже на выражение для определения коэффициентов Фурье. В этом случае можно просто в момент времени t1 подавать сигнал на вход цепи, а в момент t2 снимать показания с ее выхода.