12. Свойства автокорреляционной функции.

Физическая реализуемость сигнала

М ногие радиотехнические системы работают с сигналами, одинаковыми по форме, но сдвинутыми по фазе. Параметр

- временя задержки.

сигнал s(t) можно представить в виде: , где .

М ера различия сигналов - расстояние между ними в пространстве сигналов:

Обозначим x₁=x(t), а x₂=x(t-)=x_, тогда ,

где Exx_ - взаимная энергия сигналов.

если 0, то и 0. можно записать:

где ---- автокорреляционная функция (АКФ) (функция корреляции).

Применим равенство Парсеваля:

- энергетический спектр сигнала.

Окончательно получим:

Не каждый сигнал с известной функцией автокорреляции реализуем на практике. Должно выполняться условие:

.

реально можно получить только те сигналы, энергетический спектр которых не принимает отрицательных значений.

Н апример сигнал с АКФ, изображённой на рисунке сверху, практически реализовать невозможно, т.к. его энергетический спектр принимает значения, меньшие нуля, а вот сигнал с АКФ, изображённой снизу, реализуем.

особенность реальных АКФ - её вторая производная в нуле всегда отрицательна:

.

Если формировать сигнал по известной АКФ с помощью формирующего фильтра, то существует критерий Винера - Пэли: реализуются лишь те фильтры, для которых . например реализуется, а не реализуется. Это подтверждает тот факт, что функция Гаусса не реализуема на практике.

1 3. Функция автокорреляции дискретных сигналов

Дискретный сигнал: x={x₁,x₂,...,x_n}.

дискретная АКФ:

р /м сигнал, весь интервал существования которого разделён на целое число M>1 позиций. На каждой позиции сигнал может находиться в одном из двух состояний, которым отвечают числа +1 и –1. Формируются

п о-разному. применяется амплитудное, фазовое или частотное кодирование (см. рисунок). Действующая модель такого сигнала – последовательность чисел {U_i}, каждое из которых может принимать значения ±1. "Пустые" позиции, на которых сигнал не определён, обозначаются нулями. Важнейшая операция с таким сигналом - сдвиг сигнала на некоторое число позиций без изменения его формы:

…0 0 1 –1 1 0 0 0…

…0 0 0 1 -1 1 0 0…

…0 0 0 0 1 -1 1 0…

Определим корреляционную функцию для трёхпозиционного сигнала, {1;1;1}:

…0 1 1 1 0 0 0 0…

…0 0 1 1 1 0 0 0…

…0 0 0 1 1 1 0 0…

…0 0 0 0 1 1 1 0…

п ри n=3 не происходит наложение сигналов и преобразование становится =0, поэтому для АКФ:

чем уже основной лепесток АКФ, тем совершеннее сигнал с точки зрения возможности точного измерения момента его начала.

с игналы (коды) Баркера обладают свойством: независимо от числа позиций M значения их АКФ при n≠0 не превышают единицы; в то же время их энергия K(0)=M. Сигналы Баркера реализуются лишь при M=2,3,4,5,7,11,13. Структурная схема для вычисления дискретной функции автокорреляции может иметь такой вид:

6. Спектральное представление одиночных сигналов. Интеграл Фурье. Спектры постоянного напряжения, гармонического сигнала, прямоугольного и ам импульса.

Пусть сигнал x(t) - одиночный импульс конечной длительности. мысленно представим периодическую последовательность, которая может быть представлена в виде ряда Фурье: , где .

устремим к бесконечности интервал наблюдения: T∞. И вернёмся к одиночному импульсу

Р/м базисные функции вида:

, где .

функция (s,t) описывается выражением . Тогда ,

а сигнал представим в виде .

Распишем теперь C_k как скалярное произведение:

Устремим в этом соотношении T∞., тогда d, а дискретная переменная стремится к непрерывной: k. и для x(t) получим:

, (1)

В формуле (1) внутреннее скалярное произведение - прямое преобразование Фурье,

а внешнее – обратное преобразование Фурье. Запишем их в виде системы:

- спектральная плотность сигнала x(t) или интеграл Фурье. краткая форма записи:

;

такое преобразование справедливо только для абсолютно интегрируемых сигналов.

Спектральная плотность прямоугольного импульса

Спектральная постоянного напряжения

x(t)=A₀=const.

.

S()=2πA₀()

Спектральная плотность гармонического сигнала x(t)=A₀cos(₀t+φ).

Воспользуемся формулой Эйлера:

.Тогда:

Спектральная плотность АМ сигнала x(t)=A(t)cos₀t..

Для A(t) есть своя спектральная плотность .

.

.

Э то справедливо если ∆=₀.

Энергию сигнала можно вычислить по его спектру: если A₀∆ - энергия исходного сигнала, то для модулированного сигнала энергия равна . она вдвое меньше. из-за того, что у косинуса действующее значение сигнала ~ корень из 2. Чтобы энергия не терялась, нужно умножить на функцию, где действующее значение = амплитудному.