8. Элементы смо и их характеристика.

На практике часто встречаются однотипные задачи в том смысле, что в них присутствует массовый спрос на обслуживание. В удовлетворении этого спроса участвует определенная совокупность элементов, которая образует так называемую систему массового обслуживания (СМО) (рис. 1).

Рис. 1. Элементы СМО

Элементами СМО в общем случае являются:

– входной (входящий) поток требований/заявок на обслуживание;

– обслуживающее устройство, сост. из одного или нескольких приборов/каналов обслуживания;

– очередь требований/заявок, ожидающих обслуживание;

– выходной поток обслуженных требований/заявок;

– управляющее устройство.

Характеристиками входного потока заявок являются:

– закон распределения интервала времени между двумя соседними заявками;

– приоритетность заявок;

– коэффициент вариации интервалов, характеризующий степень неравномерности поступления заявок.

При аналитическом моделировании чаще всего предполагают, что все потоки событий, переводящие СМО из состояния в состояние пуассоновские. В случае, когда пуассоновский поток стационарен (простейший поток), интервал времени t между событиями в этом потоке есть экспоненциально распределенная случайная величина (показательный закон распр.), для которой функция и плотность распределения имеют вид:

,

где – интенсивность потока заявок, которая связана с математическим ожиданием интервала времени между поступлениями заявок. Для стационарного пуассоновского потока вероятность появления k заявок за интервал времени t определяется законом Пуассона:

Более частое использование пуассоновского потока объясняется причинами:

– этот поток в теории СМО аналогичен нормальному закону теории вероятностей (см. центральную предельную теорему);

– если каналы рассчитаны на пуассоновский поток требований, то обслуживание других потоков заявок с той же средней интенсивностью будет обеспечена с не меньшей эффективностью;

– для других видов потоков заявок анализ функционирования СМО труден из–за сложности зависимостей между параметрами элементов СМО.

Исходя из этого, во многих работах стационарный пуассоновский поток называют простейшим.

Простейший поток заявок может обладать следующими свойствами:

– стационарности;

– ординарности (одновременно не может поступить две заявки);

– ограниченного последействия.

Системы, в котором потоки заявок не зависят от процесса обслуживания, называют разомкнутыми, а системы, в которых потоки заявок зависят от количества заявок, находящихся в обслуживании, называют замкнутыми. Заявки могут быть неоднородными, т.е. иметь разные права на обслуживание. Эти права задаются приоритетами. Приоритеты могут быть двух типов: относительный и абсолютный. При относительным приоритете прибывшая заявка становится впереди очереди, при абсолютном приоритете облуживание текущей заявки

Важным параметром потока является коэффициент вариации

Для простейшего потока

Обычно . При значении поток детерминированный.

Обслуживающее устройство в СМО может иметь один или несколько каналов. В соответствии с этим СМО называют одноканальными или многоканальными.

Основные характеристики:

– время , затрачиваемое на обслуживание одной заявки;

– надежность каналов;

– дисциплина выбора заявки из очереди.

Время обслуживания, как правило, величина случайная и описывается соответствующим законом распределения. В практике моделирования наибольшее распространение по тем же причинам, что и пуассоновский для входного потока заявок, получил нормальный закон распределения времени обслуживания.

,

где – интенсивность обслуживания.

В теории массового обслуживания показано, что значение показателей эффективности СМО сравнительно мало зависит от вида закона распределения времени обслуживания.

При исследовании СМО выпадает из рассмотрения сущность обслуживания, вид приборов обслуживания и качество обслуживания.

Выбор свободного прибора может осуществляться

– случайным образом;

– в порядке приоритета (ФИФО, ЛИФО);

– в зависимости от времени нахождения прибора в состоянии свободен/занят;

!!!Анализ СМО посредством аналитического моделирования возможен только в случае дисциплины типа ФИФО. Дисциплина очереди определяет, в каких случаях заявка становится в очередь и когда она покидает систему. Задается в виде ограничений следующих характеристик.

– длина очереди m – макс. число заявок в очереди;

– время ожидания заявки в очереди t_ож . Время в системе: t_с = t_ожид + t_обсл

В зависимости от дисциплины СМО делятся на

– СМО с отказами в обслуживании m = 0;

– СМО с ожиданием (с очередью) m > 0.

СМО с очередью делятся на системы с неограниченным ожиданием (m = ∞) и системы с ограниченным ожиданием.

Выходящий поток делится на потоки обслуженных и необслуженных заявок.

Встречаются случаи (очень часто), когда заявки должны последовательно проходить через две или несколько СМО.

Совокупность последовательно соединенных СМО называют сетями массового обслуживания или многофазными СМО.

!СМО является управляемым объектом. Все элементы в СМО могут подвергаться управляющим воздействиям с целью достижения максимальной эффективности.

Для обозначения простых (однофазных) СМО используется символика, предложенная Кендаллом: . — простейщий поток с показательным законом законом распределения вероятностей; — показательное обслуживание; — количество обслуживающих каналов; — длина очереди.