1Математическое описание системы управления

Одноконтурная система управления (далее для краткости просто СУ), представленная в техническом задании, состоит из трех динамических звеньев: формирующий элемент, объект управления и датчик обратной связи. Первые два динамических звена включены последовательно в прямой цепи структурной схемы. Датчик обратной связи включен в обратную цепь структурной схемы.

Каждое из этих звеньев имеет математическое описание в виде передаточной функции (далее ПФ). После подстановки параметров, представленных в техническом задании, ПФ звеньев СУ примут вид (1.1), (1.2) и (1.3)

, (1.1)

, (1.2)

. (1.3)

В ПФ (1.1) и (1.2) коэффициенты k₀ и K_фэ не подставлены, потому что их значения явным образом не заданы (дано их произведение).

Перерисуем исходную структурную схему, объединив звенья прямой цепи. Дальнейший анализ СУ будем производить по схеме рисунка 1.1.

Рисунок 1.1 Структурная схема исследуемой СУ

СУпо структурной схеме рисунка 1.1 в свою очередь может быть описана двумя ПФ: ПФ замкнутой системы по задающему воздействию Y₀ и ПФ по ошибке . Данные ПФ имеют вид соответственно (1.4) и (1.5)

, (1.4)

, (1.5)

где W_p(s) – ПФ разомкнутой системы.

ПФ разомкнутой системы имеет вид

. (1.6)

Для удобства сразу представим выражение 1+W_p(s), используя выражение (1.6)

В выражении (1.7) произведение K_фэ, k₀ и k_дос называется общим коэффициентом передачи системы. Далее, этот коэффициент будем обозначать просто k. Таким образом, коэффициент передачи системы имеет вид и при данных параметрах равен

. (1.8)

Выражения (1.4) после подстановки примет вид

. (1.9)

Выражения (1.9), (1.5) и (1.6) образуют математическую модель СУ рисунка 1.1.

Определим размерности входной и выходной величины. По условию размерность входной величины вольт [В].

Пользуясь исходными данными и выражениями (1.1)-(1.2) определим размерность выходной величины

.

Чтобы окончательно убедиться в правильности выведенной размерности, проверим размерность величины на выходе с обратной связи. Для этого воспользуемся исходными данными и выражением (1.3)

.

Таким образом, на входе системы сравниваются вольты, что не противоречит физическому смыслу.

Следующим шагом анализа системы является определение устойчивости при данных ее параметрах.

2Проверка устойчивости системы управления

Проверку устойчивости СУ будем производить по критерию Найквиста, т.е. опираясь на уравнение разомкнутой системы (1.6). Устойчивость замкнутой системы можно оценить по частотным характеристикам разомкнутой системы таким, как логарифмическая амплитудно-частотная характеристика (далее ЛАЧХ) и логарифмическая фазово-частотная характеристика (далее ЛФЧХ).

ЛАЧХ разомкнутой системы называется зависимость

L_р=L_р()=20 lg N_р(),

где N_р() – модуль показательной формы частотной передаточной функции разомкнутой системы.

ЛФЧХ замкнутой системы это зависимость

_р()=arctg(Q_р()/P_р()),

где Q_р() – мнимая часть алгебраической формы частотной передаточной функции разомкнутой системы;

P_р() – действительная часть алгебраической формы частотной передаточной функции разомкнутой системы.

ЛАЧХ можно построить, не выводя аналитических выражений, которые, судя по (1.6), получатся очень громоздкими и, как следствие, неточными. Для этого ПФ разомкнутой системы следует представить как совокупность последовательно соединенных типовых звеньев, поведение которых хорошо известно. Так (1.6) можно рассматривать как совокупность форсирующего звена первого порядка и четырех апериодических звеньев первого порядка

. (2.1)

Найдем все частоты сопряжения разомкнутой системы, определяющие моменты включения типового звена в совокупности, в логарифмическом масштабе

На полученных частотах кривая ЛАЧХ будет изменять свой наклон относительно оси ординат. На частоте значение L будет равно

.

Так как в ПФ разомкнутой системы нет интегрирующих и дифференцирующих звеньев, то до первой частоты сопряжения lg_c1 кривая будет иметь нулевой наклон относительно оси ординат. После первой частоты начнет действовать форсирующее звено первого порядка и изменит наклон кривой на +20 дБ/дек относительно предыдущего наклона. Данный наклон будет сохраняться до частоты сопряжения lg_c4, после которой начинает действовать апериодическое звено первого порядка с параметром T_a. При этом наклон относительно предыдущего изменится на -20 дБ/дек (общий наклон будет нулевой относительно оси ординат). Далее последовательно включаются апериодические звенья соответственно с параметрами T_b, T₂ и T₃ каждое со своей частоты сопряжения. Каждое последующее включение изменяет наклон ЛАЧХ относительно предыдущего наклона на -20 дБ/дек, т.е. после частоты lg_c5 общий наклон станет -20 дб/дек, после lg_c2 – -40 дБ/дек и после lg_c3 – -60 дБ/дек.

Кривая ЛФЧХ разомкнутой системы является суммой ЛФЧХ составляющих ее типовых звеньев в (2.1). Аналитические выражения, по которым строятся ЛФЧХ форсирующего звена первого порядка и апериодического звена первого порядка, будут

, (2.2)

. (2.3)

Пользуясь формулами (2.2) и (2.3) составим таблицу.

Таблица 2.1 –Точки ЛФЧХ разомкнутой системы

, рад/с	lg , дек						Рез. ЛФЧХ
		, радианы
1,00	0	0,540	-0,010	-0,291	-0,059	-0,002	0,176
1,58	0,2	0,760	-0,015	-0,443	-0,094	-0,003	0,201
2,51	0,4	0,984	-0,025	-0,645	-0,149	-0,006	0,158
3,98	0,6	1,174	-0,039	-0,873	-0,234	-0,009	0,016
6,31	0,8	1,312	-0,063	-1,084	-0,361	-0,015	-0,212
10,00	1,0	1,405	-0,099	-1,249	-0,540	-0,024	-0,508
15,85	1,2	1,466	-0,157	-1,363	-0,760	-0,039	-0,854
25,12	1,4	1,504	-0,246	-1,438	-0,984	-0,062	-1,228
39,81	1,6	1,528	0,378	-1,487	-1,174	-0,099	-1,610
63,10	1,8	1,544	-0,562	-1,518	-1,312	-0,156	-2,005
100,00	2,0	1,554	-0,785	-1,537	-1,405	-0,244	-2,419
158,49	2,2	1,560	-1,007	-1,549	-1,466	-0,377	-2,840
251,19	2,4	1,564	-1,191	-1,557	-1,504	-0,560	-3,250
398,11	2,6	1,566	-1,324	-1,562	-1,528	-0,783	-3,632
630,96	2,8	1,568	-1,413	-1,565	-1,544	-1,005	-3,961
1000,00	3	1,569	-1,471	-1,567	-1,554	-1,190	-4,213
1584,89	3,2	1,569	-1,507	-1,568	-1,560	-1,323	-4,390
2511,89	3,4	1,570	-1,531	-1,569	-1,564	-1,412	-4,507

По второму и последнему столбцам таблицы 2.1 строится ЛФЧХ замкнутой системы.

ЛАЧХ и ЛФЧХ разомкнутой системы, построенные на миллиметровой бумаге, при данных параметрах системы приведены в приложении А на первом листе.

Анализ устойчивости замкнутой системы по критерию Найквиста следует начинать с анализа устойчивости разомкнутой системы. Для этого рассмотрим характеристическое уравнение разомкнутой системы, которое является знаменателем выражения (1.6). Удобнее всего в этом случае проанализировать промежуточный этап приведения, который имеет следующий вид

.

Приравнивая знаменатель к нулю, и определив его корни, можно убедиться, что они все «левые», т.е. находятся слева от мнимой оси комплексной плоскости. Это означает, что разомкнутая система устойчива, и для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы число переходов ЛФЧХ через линию - при положительных значениях ЛАЧХ было четным (или, по крайней мере, равным нулю) [1, стр. 252].

Частота, до которой ЛАЧХ положительна, называется частотой среза _ср. Частота, при которой ЛФЧХ равна -, называется критической частотой _кр. Проанализировав логарифмические частотные характеристики разомкнутой системы при данных параметрах, делаем вывод, что замкнутая система неустойчива, т.к. ЛФЧХ делает один переход до частоты среза, т.е. нечетное количество.

Для обеспечения устойчивости можно попробовать изменить параметр формирующего элемента K_фе до такого значения, при котором замкнутая система становится устойчивой.

Сначала необходимо определить значение коэффициента передачи (1.8) замкнутой системы, при котором замкнутая система будет находиться на границе устойчивости. Это значение называется критическим коэффициентом передачи. Для этого анализируют характеристическое уравнение замкнутой системы, которое является знаменателем выражения (1.9). Знаменатель был отражен отдельно в (1.7). Приравняем числитель (1.7) к нулю

. (2.4)

Полином (2.4) четвертого порядка. Для отыскания критического коэффициента воспользуемся критерием Гурвица, который для систем четвертого порядка формулируется следующим образом [1, стр. 239]

. (2.5)

Подставим в (2.5) коэффициенты (2.4), и знак неравенства обернем в знак равенства

.

Из последнего выражения найдем k

.

Решая последнее квадратное уравнение, мы получаем два корня

Отрицательный корень не имеет физического смысла, поэтому корень k₁ является критическим коэффициентом передачи замкнутой системы k_кр.

Теперь изменим K_фе так, чтобы общий коэффициент передачи был меньше критического в два раза. Так как k₀ изначально не задан явно, остается представить новое произведение K_фе и k₀

. (2.6)

С учетом (2.6) выражения (1.6) и (1.9) перепишутся в (2.7) и (2.8) соответственно

, (2.7)

. (2.8)

Оценить систему при новых параметрах также можно по критерию Найквиста. Нетрудно догадаться, что изменение К_фе никак не повлияло на внешний вид ЛФЧХ, потому что (2.7) состоит все из тех же типовых звеньев, что (2.1). Наоборот, изменение общего коэффициента передачи в меньшую сторону как бы сместит ЛАЧХ вниз относительно оси ординат. При этом частота среза уменьшится, и до нее ЛФЧХ не будет делать переходов через линию -. Таким образом, система становится устойчивой и имеет смысл продолжать дальнейший ее анализ.

В приложении А даны ЛАЧХ и ЛФЧХ системы, после приведения ее в устойчивое состояние. Построение новой ЛАЧХ ничем не отличается от построения, описанного выше, кроме первой точки при нулевой декаде. Значение новой начальной точки будет

.

ЛФЧХ строится также по таблице 2.1. По новым характеристикам частота критическая и частота среза равны

По новым характеристикам определим запасы устойчивости по модулю и по фазе. Данные запасы определяют отдаленность СУ от границы устойчивости.

Запасом устойчивости по модулю L_зап называется его значение в логарифмическом масштабе при критической частоте. По ЛАЧХ запас по модулю равен

.

Запасом устойчивости по фазе называется расстояние от линии - до кривой ЛФЧХ при частоте среза. По ЛФЧХ данный запас равен

.

Наконец построим амплитудно-фазовую частотную характеристику разомкнутой системы (далее годограф Найквиста). Выведем частотную передаточную функцию (1.7), заменив комплексную величину s произведением мнимой единицы на угловую частоту 

Умножив числитель и знаменатель предыдущего выражения на комплексно-сопряженное знаменателя, получим

Выделим из предыдущего выражения действительную и мнимую части.

(2.9)

(2.10)

Определим по (2.9) и (2.10) характерные точки годографа Найквиста, представленные в таблице 2.2.

Таблица 2.2 – Характерные точки годографа Найквиста

№	, рад/с
1	0	9,487	0
2	37,959	0	-7,209
3	4,103	15,419	0
4	223,711	-0,502	0
5	+	0	0

Частоты строк 2, 3 и 4 вычислены численно с точностью до третьего знака после запятой с помощью математического пакета Mathcad (Приложение Б 1). На рисунке 2.1 показан годограф Найквиста.

По годографу Найквиста также можно судить об устойчивости замкнутой системы. Так замкнутая система устойчива, потому что при устойчивой разомкнутой системе (это было доказано выше), годограф Найквиста не охватывает особую точку (-1 ; j0) (треугольник на рисунке 2.1) [1, стр. 245].

Рисунок 2.1 Годограф Найквиста