2. Корневые показатели качества

Напомним, что выражение ПФ можно представить как отношение двух полиномов. Корни полинома, представленного в числителе, называются нулями, а корни знаменателя – полюсами. Переходная характеристика зависит от коэффициентов при полиноме, от которых в свою очередь зависят его корни. Эту зависимость используют для оценки качества переходной характеристики.

Приведение (1.9) к виду отношения двух полиномов и отыскание нулей и полюсов выполнено в математическом пакете Mathcad (Приложение Б 4). На рисунке 3.3 представлена комплексная плоскость, с отмеченными на ней нулями и полюсами. Так как их распределение неравномерно, комплексная плоскость представлена в двух масштабах.

Рисунок 3.3 Расположение полюсов и нулей ПФ замкнутой системы на комплексной плоскости

В рамках данного раздела будут определены следующие параметры области расположения полюсов ПФ:

• Степень устойчивости ;

• Колебательность .

Степень устойчивости  - это расстояние от мнимой оси до ближайшего полюса. Анализируя рисунок 3.3 можно прийти к выводу, что ближайший к мнимой оси полюс компенсируется ближайшим к мнимой оси нулем [1, стр. 320]

,

где ₁ и ₁ – соответственно ближайший полюс и ближайший ноль.

Тогда значение устойчивости будет определять следующий, идущий по порядку, полюс. По рисунку 3.3 это комплексно-сопряженная пара, которая по приложению Б 4 равна

.

Устойчивость равна

=22,061.

По устойчивости можно дать оценку регулирования [1, стр. 317]. Так как наиболее приближенным к мнимой оси является комплексная пара, то время регулирования оценивается как

,

где  - порог точности в относительных единицах.

Будем полагать 5% порог точности, тогда время, по истечении которого отклонения установившегося значения не превысят этот порог равно

.

Так как среди полюсов есть комплексно-сопряженная пара, то СУ в целом обладает определенной колебательностью.

Колебательность  - это отношение мнимой части к вещественной ближайшего к мнимой оси комплексного корня.

Тогда колебательность системы равна

.

По колебательности можно дать оценку перерегулирования  (см. ниже) [1, стр. 317]

Сведем результаты в таблицу 3.2

Таблица 3.2 – Сводная таблица по разделу 3.2

		tp, c (около)	 % (не менее)
22,1	7,5	0,14	66

2. Показатели качества переходной характеристики

Напомним, что переходной характеристикой называется реакция системы на воздействие единичного входного воздействия. По переходной характеристике оценивается переходный процесс системы в установившееся состояние.

В рамках данного раздела будут определены:

• Время регулирования t_p;

• Перерегулирование ;

• Число колебаний n;

• Частота колебаний f.

На рисунке 3.4 изображена переходная характеристика системы, построенная с помощью математического пакета Mathcad (Приложение Б 5). Переходная характеристика СУ строится по функции

,

где L – оператор преобразования Лапласа;

1(s) – изображение единичного входного воздействия.

Время регулирования t_p – время переходного процесса. Так как в идеальной системе переходный процесс бесконечен [1, стр. 297], то временем регулирования считают интервал времени, по истечении которого отклонения переходного процесса не превысят порога точности . Здесь мы его тоже принимаем 5%.

От установившегося значения, определенного в разделе 3.1, строим отклонение в 5% вверх и вниз, образуя тем самым коридор. Значение отступа в определяется так

.

Данный отступ показан на рисунке 3.4. Далее замечаем точку, пройдя которую, переходная характеристика не покидает коридор. По рисунку 3.4 время регулирования равно

.

Рисунок 3.4 Переходная характеристика замкнутой системы

Перерегулирование  - это разность между максимальным значением переходной характеристики и установившимся значением, выраженная в процентах, т.е.

.

Заметив по рисунку 3.4 первый максимум, найдем значение перерегулирования

.

Число колебаний n – это количество максимумов за время регулирования. Нетрудно заметить, что их число равно пяти.

Частота колебаний f – число полных циклов колебаний, совершаемых за единицу времени. Эта величина обратная периоду колебаний, который характеризует время одного колебания. В приложении Б 5 показано как засечено время двух соседних максимумов, поэтому здесь приведем только значение частоты

.

Сведем результаты в таблицу 3.3.

Таблица 3.3 – Сводная таблица по разделу 3.3

tp, с	, %	n	f, Гц
0,17	77,8	5	26,4