Задача 4
В продажу поступают телевизоры трёх заводов. Продукция первого завода содержит 20% телевизоров со скрытым дефектом, второго – 10%, третьего – 5%. Какова вероятность приобрести исправный телевизор, если в магазин поступило 30% телевизоров с 1-го завода, 20% – со 2-го и 50% – с 3-го? Если телевизор исправен, то какой завод вероятнее всего его изготовил?
Рассмотрим событие А={покупка исправного телевизора}. Так как исправный телевизор может быть сделан одним из трех заводов, то введем следующие гипотезы:
H1 – купленный телевизор произведен первым заводом;
H2 – купленный телевизор произведен вторым заводом;
H3 – купленный телевизор произведен третьим заводом.
Тогда вероятность события А будет вычисляться по формуле полной вероятности вида [1, стр. 54]
, (4.1)
где P(Hi) – в нашем случае, вероятность покупки телевизора, i-го завода (всё равно какого);
P(A|Hi) – вероятность того, что купленный i-го завода телевизор исправен.
Вероятность P(Hi) определяется долей телевизоров на рынке и дана по условию, т.е.
.
Вероятность P(A|Hi) определяется долей исправных телевизоров в партии, которую можно получить, если из всей партии вычесть долю брака, т.е.
.
Подставляя данные в (4.1) получим
.
Так как гипотезы очевидно несовместны, то можно применить формулу Бейеса [1, стр. 56]
, (4.2)
где P(Hi|A) – в нашем случае, вероятность того, что купленный исправный телевизор изготовлен i-ым заводом.
Таким образом,
.
Из чего заключаем, что приобретенный исправный телевизор вероятнее всего изготовлен 3-им заводом.
В приложении А приведён листинг программы, производящей экспериментальный подсчёт указанной вероятности.
Задача 5
Устройство состоит из 400 элементов, работающих независимо один от другого. Вероятность отказа любого элемента, проработавшего время t, равна 0,15. Найдите наивероятнейшее количество приборов, которые могут отказать через время t и вероятность отказа такого количества;
Рабочий обслуживает 3 станка. Вероятность того, что в течение смены станок потребует его внимания, равна 0,7. Найдите вероятность того, что в течение смены внимания рабочего потребуют 2 станка;
Вероятность наступления события в каждом испытании равна 0,8. Найдите наибольшее отклонение частоты этого события от вероятности его наступления, которое можно ожидать с вероятностью 0,9146 при 4900 испытаниях;
Прядильщица обслуживает 1000 веретен. Вероятность обрыва нити на 1 веретене в течение 1 минуты равна 0,003. Вычислите вероятность того, что в течение 1 минуты произойдет не более двух обрывов.
5.1 Наивероятнейшее количество приборов, которые могут выйти из строя, лежит в следующем промежутке [3, стр. 20]
, (5.1)
где n – число испытаний;
p – вероятность того, что событие произойдёт в повторении;
q – вероятность того, что событие не произойдёт в повторении.
В нашем случае
Так как обе границы не целые, то наивероятнейшая частота одна. Возьмем левую границу и округлим её до целых, т.е.
.
Так как число испытаний достаточно велико, то вычислить вероятность можно приближённо, воспользовавшись локальной теоремой Лапласа [2, стр. 58]
. (5.2)
Подставляя, получим
Значение функции определим по таблице [2, стр. 461]
.
Взяв значение по модулю, рассчитаем вероятность
.
5.2 Для расчета этой вероятности воспользуемся формулой Бернулли [2, стр. 55]
. (5.3)
В нашем случае
5.3 Так как число испытаний достаточно велико, то можно воспользоваться приближённой интегральной теоремой Лапласа (неправильно: следует использовать приближение Пуассона), а именно её частной формой [2, стр. 61], так как нас просят рассчитать наибольшее отклонение , т.е.
. (5.4)
Левая часть выражения (5.4) дана по условию, т.е. вероятность появления отклонения частоты от вероятности появления события. Тогда можно записать
Воспользовавшись таблицей [2, стр. 462], найдем значение аргумента функции и вычислим
.
5.4 Так как число испытаний достаточно велико, то вычислить вероятность можно приближённо, воспользовавшись интегральной теоремой Лапласа [2, стр. 59]
. (5.5)