Задача 8
С лучайная величина (=x) задана функцией плотности распределения
|
, |
|
|
f(x)= |
|
, |
(8.1) |
|
0, |
|
|
с заданной дисперсией DX=1.
Определить константы a и b и повторить задачу 7. Пусть определены события A и В
. (8.2)
Выяснить являются ли события А и В зависимы. Случайная величина измеряется в трех независимых испытаниях, по результатам которых строят новую случайную величину . Случайная величина равна 1, если хотя бы при одном испытании произошло событие А; равно 0, если А не произошло ни разу, но хотя бы раз произошло событие В–А, и принимает значение -1 во всех остальных случаях. Определите MX и DX случайной величины .
Сначала избавимся от модулей в (8.1), преобразовав выражение в (8.3).
|
0 , |
|
|
f(x)= |
, |
|
(8.3) |
, |
|
||
|
0, |
|
|
Определим константы, для чего составим систему из следующих уравнений
(8.4)
Начальные моменты системы (8.4) определяются по уже известной формуле (7.3).
Так первое уравнение системы
.
Второе уравнение системы
Подставим результаты в (8.4) и разрешим систему относительно констант
.
Подставим найденные нами константы в (8.3) и (8.2).
|
0 , |
|
|
f(x)= |
, |
|
(8.5) |
, |
|
||
|
0, |
|
|
(8.6)
Рассчитаем функцию распределения
|
0 , |
|
|
F(x)= |
, |
|
(8.7) |
, |
|
||
|
1, |
|
|
Определим оставшиеся начальные и центральные моменты
Коэффициенты асимметрии и эксцесса
Воспользовавшись теоремой (1.3), проверим события А и В на независимость.
События приближённо можно считать независимыми.
Введём случайную величину , которая является дискретной. Пусть событие H1={появление событие А хотя бы раз в трех испытаниях}; H2={Появление события В–А хотя бы раз в трех испытаниях и не появление события А}.
Составим таблицу для случайной величины .
Таблица 2
-
-1
0
1
p
0,0013
0,00066
0,998
Пользуясь формулами (6.2) и (6.3) вычислим дисперсию и математическое ожидание.
На рисунках 8.1 и 8.2 показаны графики плотности вероятности и функции распределения случайной величины .
Рисунок 8.1 Плотность вероятности случайной величины
Рисунок 8.2 График функции распределения