4.1.3. Отношения следования, эквивалентности и несовместимости

Выше рассматривались отдельные высказывания (простые или составные). Но часто

бывает нужно, исходя из анализа множества логических возможностей, связанного с

двумя высказываниями cud, установить логические отношения между ними. Рассмотрим

отношения следования, эквивалентности и несовместимости (совместимости).

Из высказывания с логически следует высказывание d, если при истинности с истинно

всякий раз и d. Высказывания с и d логически эквивалентны, если из высказывания с

логически следует высказывание d и наоборот, из d логически следует с.

Высказывания несовместимы, если нет ни одной логической возможности для

одновременной истинности этих высказываний, в противном случае высказывания

совместимы.

148

Введенные отношения поясним на примере высказываний: a<r*b, a-*b, ~b-+~a. Составим

их таблицы истинности (рис. 4.13).

Рис. 4.13

Из высказывания д<-»6 следует высказывание а-^b, так как при истинности а*+Ь истинно

всякий раз и а-+Ь; но из высказывания а->Ь не следует высказывание а++Ь, так как при

истинности д->* высказывание а++Ь может быть ложным (рис. 4.13, столбцы Зи 4).

Эквивалентны высказывания: а-*Ь и ~Ь-+~а; обратим внимание на то, что значения истин-

ности эквивалентных высказываний совпадают (рис. 4.13, столбцы 4 и 7). Высказывания а

и ~а несовместимы, а например, высказывания а-*Ъ и ~Ь-+~а совместимы.

Между отношением следования и импликацией, так же как между отношением

эквивалентности и двойной импликацией имеется тесная связь, но важно не пугать эти

понятия. Импликация и двойная импликация - это новые высказывания, составленные из

двух данных, а следование и эквивалентность — это отношения между двумя

высказываниями. Связь же между ними такова: из высказывания с следует высказывание

d, если и только если импликация c-+d логически истинна; cud эквивалентны, если и

только если двойная импликация c+*d логически истинна. В подтверждение: из

высказывания а<->Ь следует а~*Ь и импликация (a++b)->(a-*b) логически истинна (рис.

4.13, столбец 8); высказывания а->Ь и ~Ь-+~а эквивалентны и двойная импликация (а<-

»*)->(~Ј->~0) логически истинна (рис. 4.13, столбец 9).

Проанализируем некоторые часто используемые, в том числе и выше использованные,

формы высказываний с позиций отношений следования и эквивалентности:

1. Высказывание «а истинно, только если b истинно», и высказывание «если а истинно, то

b истинно» эквивалентны.

149

Действительно, высказывание «а истинно, только если b истинно» констатирует «если b

ложно, то и а ложно», которое эквивалентно высказыванию «если а истинно, то b

истинно», так как, допустив, что из истинности а следует ложность b и, имея ввиду, что из

ложности b следует ложность а, мы получим, что из истинности д> следует ложность а,

чего быть не может. Итак, высказывание «а истинно, только если b истинно»

эквивалентно высказыванию «если b ложно, то а ложно», которое эквивалентно

высказыванию «если а истинно, то b истинно». Поэтому высказывания «а истинно, только

если b истинно» и «если а истинно, то b истинно», эквивалентны.

В подтверждение эквивалентны следующие три высказывания, составленные из

высказываний а = «совершивший уголовное преступление подлежит уголовному

наказанию» и b = «совершивший уголовное | преступление не моложе 14 лет»:

• «совершивший уголовное преступление подлежит уголовному наказанию, только

если совершивший не моложе 14 лет» («а истинно, только если b истинно»);

• «если совершивший уголовное преступление моложе 14 лет, то он не подлежит

уголовному наказанию» («если b ложно, то а ложно»);

• «если совершивший уголовное преступление подлежит уголовному наказанию, то

совершивший не мо-\ ложе 14 лет» («если а истинно, то b истинно»).

Обратим внимание на то, что два последние высказывания символически записываются

так: ~b-^~a, a-*b; эквивалентность же этих связок была подтверждена выше (рис. 4.13,

столбцы 7, 4, 9). Оба высказывания, в рамках существующего УК, логически истинны.

Замечание.

Синонимами выражения «а истинно, только если b истинно» являются выражения «а

истинно только в том случае, если b истинно» и «а истинно только тогда, когда b

истинно»

2. Высказывание «а истинно, если и только если b истинно» и часто используемое в

математике высказывание «истинность а является достаточным и необходимым условием

истинности Ь» эквивалентны.

150

Действительно, высказывание «а истинно, если и только если b истинно» констатирует

следующее: «если b истинно, то а истинно» и «если b ложно, то и а ложно». А так как

последнее высказывание эквивалентно высказыванию «если а истинно, то и b истинно»

(см пункт 1), то получим, что высказывания: «а истинно, если и только если b истинно» и

«если b истинно, то а истинно, и, если а истинно, то b истинно» эквивалентны.

Далее высказывание «истинность а является достаточным условием для истинности Ь»

констатирует «если а истинно, то b истинно», а высказывание «истинность а является

необходимым условием истинности Ь» констатирует, что «Ь истинно, только если а

истинно», или «если b истинно, то и а истинно». Поэтому высказывание «истинность а

является достаточным и необходимым условием истинности Ь» эквивалентно

высказыванию «если а истинно, то b истинно, и, если b истинно, то а истинно».

Окончательно высказывания «а истинно, если и только если b истинно» и «истинность а

является достаточным и необходимым условием истинности Ь» эквивалентны.

В подтверждение эквивалентны следующие два высказывания, составленные из

высказываний а = «совершивший уголовное преступление подлежит уголовному

наказанию» и b = «совершивший уголовное преступление не моложе 14 лет»:

• «совершивший уголовное преступление подлежит уголовному наказанию, если и

только если совершивший не моложе 14 лет» («а истинно, если и только если b истинно»);

• «если совершивший уголовное преступление подлежит уголовному наказанию, то

совершивший не моложе 14 лет, и, если совершивший уголовное преступление не моложе

14 лет, то совершивший подлежит уголовному наказанию» («истинность а является

достаточным и необходимым условием истинности Ь»).

Обратим внимание на то, что последние два высказывания символически записываются

так: а++Ь, (а-*Ь)л(Ь-^а); нетрудно убедиться в эквивалентности этих связок. И далее по-

151

скольку, в рамках существующего УК, второе высказывание логически истинно, то и

первое тоже логически истинно

Высказывание же «произведение двух чисел — четное число, если и только если оба

числа — четные» не является логически истинным, так как не является логически

истинным высказывание «если произведение двух чисел — четное число, то оба числа —

четные, и, если оба числа четные, то их произведение четно». Действительно, в последнем

высказывании вторая часть логически истинна, но первая часть не является логически

истинной-если произведение двух чисел — четное число, например 16, то из этого вовсе

не следует, что эти два числа четные: такими числами могут быть 1 и 16. Логически ис-

тинно высказывание «произведение двух чисел — четное число тогда, когда оба числа —

четные».

Замечание.

Синонимами выражения «а истинно, если и только если b истинно» являются «а истинно в

том и только том случае, если b истинно» и «а истинно тогда и только тогда, когда b

истинно»