4.1.4. Аргументы правильные и ложные

Под аргументом понимают утверждение того, что некоторое высказывание (заключение)

логически следует из конъюнкции других высказываний (посылок). Аргумент называют

правильным, если действительно из конъюнкции посылок логически следует заключение,

т.е. при истинности всех посылок всякий раз будет истинным и заключение. Аргумент, не

являющийся правильным, называется ложным. Примем такую форму записи аргумента:

выпишем все посылки, под ними проведем черту, под которой запишем заключение.

Приведем примеры словесной и символьной записи аргументов: Пример Э.

Аргумент правильный, так как из конъюнкции двух посы-л,ок следует заключение В

подтверждение приведем таблицу истинности аргументации (рис 4 14).

Рис. 4.14

л Сравнив два последних столбца рис 4 14, видим, что при

истинности конъюнкции (а-»й)ла посылок заключение b истинно, т е из конъюнкции двух

посылок следует заключение Пример 4.

Ложный аргумент:

Аргумент ложный при истинности конъюнкции (а-+Ь)л~а посылок заключение ~Ь не

всегда истинно, чтр видно из таблицы истинности этой аргументации, приведенной на рис

4 15

Рис. 4.15

Наиболее типичны следующие правильные аргументы a->b <«-W> avb a-*b а

~а

b -a

и следующие ложные аргументы

алЬ ~а->Ь

а ~Ь ~Ь с-+а ~а

В правильности (ложности) этих аргументов легко убедиться, составив их таблицы

истинности.

Убедимся в правильности следующего аргумента, приведенного в работе [30]: «если

Джонс — убийца (=а), то ему тонко известны время смерти Смита (—Ь), и чем он был

убит (=с). Поэтому если Джонс не знает, когда умер

Щ

\

Смит (=~Ь) или не знает, чем он был убит (=~с), то Джонс не является убийцей (=~а)».

Символическая запись этого аргумента:

Таблица истинности аргумента приведена на рис. 4.16:

Рис. 4.16

Из двух последних столбцов таблицы видно, что при J истинности конъюнкции (a-

^>(b/\c))/\(~bv~c) посылок ар- ' гумента заключение ~а истинно, поэтому приведенный

аргумент правильный.

4.1.5. Множества и операции над ними. Диаграммы Венна. Соотношения между

множествами и высказываниями

Понятие множества не определяется, а лишь иллюстрируется примерами. Например,

можно говорить о множестве статей ГК РФ, о множестве логических возможностей и т.д.

Множества будем обозначать прописными латинскими буквами: А,В,... Если элемент х

принадлежит множеству А, пишут х € А (читают: «х принадлежит множеству А»), в

противном пишут х е А («х не принадлежит множеству А»). Множество, не содержащее

ни одного элемента, называют пустым; его обозначают

символом 0.

Множество считается заданным, если о любом данном объекте можно однозначно сказать

принадлежит он этому множеству или нет. Существует два способа задания множества:

• дается полный перечень элементов множества; например, множество результатов

голосования присяжного такого: {«за», «против», «воздержался»};

154

• указывается правило определения принадлежности любого объекта к рассматриваемому

множеству; например, запись А = {х : | х | < 10} означает, что А состоит из таких чисел х,

модуль которых меньше 10 (после двоеточия записано правило, которому должно

удовлетворять число х, чтобы его можно было отнести к множеству А). Два множества,

состоящие из одних и тех же элементов, называются равными. Если множества А и В рав-

ны, то пишут А = В. Например, заданные перечнем элементов множества А = {1, 2, 3} и В

= {3, 2, 1} равны, т.е. А = В, или {1, 2, 3} = {3, 2, 1}.

Если каждый элемент множества В является в то же время элементом множества А, то

говорят, что В — часть, или, иначе, подмножество множества А. В этом случае пишут В с

А (читают «В — подмножество множества А»). В последующем, исходное множество

будем называть универсальным и обозначать буквой Q (прописная греческая буква

«омега»). Собственные подмножества множества Q — это те подмножества, которые

содержат некоторые, но не все элементы Q. Наряду с собственными подмножествами

условимся само Q и пустое множество 0 также считать подмножествами множества Q.

На базе множества Q = {а»], 02} можно образовать 22 = = 4 подмножества: {щ}, {о^}, П,

0, из которых 22 - 2 = 2 собственных — это {щ} и {о^}- На базе множества Ј2 = {eoj, 02,

03} можно образовать 23 = 8 подмножеств: {щ}, {02}, {о>з}> {о>ь Ю2}) {«"ь юзЬ {о>2,

<озЬ Ф 0) из которых 23 — 2 = 6 собственных. На базе множества Q, содержащего N

элементов, можно образовать 2N подмножеств, из которых (2^ - 2) собственных.

Выше были рассмотрены способы, которыми из данных высказываний могут быть

образованы новые высказывания. Рассмотрим аналогичный процесс образования новых

множеств из данных множеств А и В, при этом будем предполагать, что и А, и В, и вновь

образованное множество являются подмножествами некоторого универсального

множества Q.

155

Для наглядного представления операций над множествами используем диаграмму Венна1,

на которой универсальное множество П изображается прямоугольником, а его

подмножества А и В - некоторыми фигурами, чаще кругами, внутри прямоугольника.

Пересечением множеств А и В называется множество АЛВ, состоящие из тех и только тех

элементов, которые принадлежат и А, и В одновременно (словосочетание «из тех и только

тех» в данном контексте означает, что АЛВ состоит из элементов, принадлежащих

одновременно и А, и В, и никакие другие элементы в АЛВ не входят). Пересечение АЛВ

множеств А и В на диаграмме Венна изображено на рис. 4.17, а заштрихованной

областью. Если А и В не имеют общих элементов, то пересечение АЛВ будет пустым

множеством 0, т.е. АЛВ — 0. (рис. 4.17,6).

Объединением множеств А и В называется множество А В, состоящее из тех и только тех

элементов, которые принадлежат или А или В (или обоим множествам, если таковые

элементы есть) (рис. 4. 18, с и 4.18,5 — заштрихованные области).

Дополнением множества А называется множество А (читают «не А»), состоящее из тех и

только тех элементов множества Q, которые не принадлежат А (рис. 4.19, заштрихованная

область). Операция «дополнение» симметрична: если А - дополнение А, то и А -

дополнение А; поэтому А и А называют взаимодополняющими множествами.

Разностью множеств А и В называется множество А\В (читают «А без В») всех тех

элементов А, которые не принадлежат В (рис. 4.20,а - заштрихованная область).

Нетрудно убедиться в справедливости следующих утверждений:

• если у А и В нет общих элементов, т.е. АЛВ = 0, то А\В = А (рис. 4.20,5 —

заштрихованная область) и В\А = В;

• если А — подмножество множества В, т.е. А с В, то А\В = 0 (рис. 4.20,в).

Венн Джон (1834—1923 гг.) — английский логик.

156

157

В качестве приложения введенных понятий рассмотрим задачу «голосующие коалиции».

Пусть имеется группа людей, голосующих «за» или «против» проведения какой-то меры

(возможность «воздержания» исключим). Каждый член группы может иметь один или

несколько голосов. Решение группы принимается согласно какому-либо правилу: или

простым большинством, или 2/3 от общего числа голосов и т.д. Некоторые члены группы

могут объединяться в коалицию с целью проведения названной меры. Коалицию

называют выигрывающей, если ее голосов достаточно для проведения меры; проигры-

вающей, — если члены, не вошедшие в коалицию, могут провести свое решение вопреки

желанию коалиции. Коалицию называют блокирующей, если ее члены сами по себе, как и

члены, не вошедшие в эту коалицию, не могут провести никакого решения. Например,

комитет состоит из трех членов: X (председатель), имеющий два голоса, и X) и \2„,

имеющих по одному голосу каждый. Исход решается простым большинством голосов.

Возможные варианты голосования трех членов указаны в таблице на рис. 4.21.

Рис. 4.21

За универсальное множество П примем множество {X, XL X2) всех членов комитета в

предположении, что каждый из них высказался «за», Q = {X, \\, х$- Тогда, например,

подмножество {X, \\} означает, что X и х\ проголосовали «за», а Х2 — «против» (т.е.

имеет место второй вариант голосования), а пустое множество - 0 означает, что все члены

комитета проголосовали «против» (8-й вариант голосования). Количество подмножеств

158

множества Q, включая ft и 0, равно 23 = 8, из которых 6 собственных (варианты 2—7). Так

как решение «за» принимается в 1, 2 и 3-м вариантах голосования, а решение «против» в

8, 7 и 6 вариантах, то выигрывающими коалициями являются множества Q = {X, х\, ^},

{X, х\}, {X, Х2}, а проигрывающими: 0, fe}, {x\}. Обратим внимание на следующее: если

множество — коалиция С является выигрывающей (проигрывающей), то дополнение С

множества С — проигрывающая (выигрывающая) коалиция. Для подтверждения

приведем такую таблицу:

Среди выигрывающих коалиций выделяют минимальные выигрывающие (в задаче это

коалиции {X, xj и {X, Х2}). Минимальная выигрывающая коалиция — это такая

выигрывающая коалиция, ни одно из собственных подмножеств которой не является

выигрывающей коалицией. Выигрывающая коалиция {X, xj — минимальная, так как ни

одно из ее собственных подмножеств: {X} и {х\}, не является выигрывающей коалицией;

тоже относится и к коалиции {X, Х2}.

В 4-м и 5-м вариантах (рис. 4.21) решение принято не будет (нет большинства); поэтому

коалиция {X} и коалиция {X], Х2} — блокирующие. Обратим внимание на то, что сумма

числа выигрывающих, проигрывающих и блокирующих коалиций равна числу

подмножеств множества П. Пример 5.

Интересным примером группы, принимающей решения, служит Совет безопасности ООН,

состоящий при существовании СССР из одиннадцати членов: пяти представителей

великих держав (Хь Х2,..,Х5>, каждый из которых мог единолично блокировать любую

меру, и шести представителей малых наций (Х|, Х2,...,Хб). Каждый из 11 членов имел

один голос (возможность «воздержания» исключим). Для принятия Советом какой-то

меры необходимо, чтобы за нее проголосовало семь членов, включая большую пятерку. За

универсальное множество П примем множе1-

159

ство {X],..., Xs, XL ..., xg} всех членов комитета в предположении, что каждый из них

высказался «за». Общее число вариантов голосования 11 членов равно 2" = 2048 —

столько подмножеств имеет множество П. = {Xi,..., Xs, \\, ..., х$}. Любое подмножество

множества П, состоящее из большой пятерки и двух или более (не менее двух)

представителей малых наций, будет выигрывающей коалицией; а любое подмножество,

состоящее из четырех или менее (не более четырех) представителей малых наций будет

проигрывающей коалицией. Примеры этих коалиций приведены в следующей таблице:

Общее число выигрывающих коалиций равно 57' (столько же и проигрывающих

коалиций), из которых Г5' будет минимальных - это коалиции, состоящие из большой

пятерки и двух представителей малых наций. Число блокирующих коалиций равно

(2048—57—57) = 1934, среди них и единичные множества {Х|}, {Х2}, {Хз>, {Xt}, {Xs}.

Между множествами и высказываниями, а также между операциями над множествами и

операциями, связывающими простые высказывания в составные, существует тесная связь.

Естественный способ сопоставления высказываний с множествами такой:

• для имеющихся высказываний а, Ъ, с, ... находим множество Q всех логических

возможностей -универсальное множество;

• на множестве ft выделяем подмножества А, В, С, ... логических возможностей, для

которых истинны соответственно высказывания а, Ь, с, ...; А, В, С, ... называют

множествами истинности соответствующих высказываний;

• каждому высказыванию поставим в соответствие его множество истинности.

1 Способ подсчета этого числа изложен далее в задаче 7.

160

Естественный способ сопоставления операций связывания высказываний и операций над

множествами такой:

• множество истинности высказывания ал.Ь — это множество АПВ (рис. 4.22, область

двойной штриховки);

• множество истинности высказывания avb — это множество АиВ (рис. 4.22, вся

заштрихованная область);

Оба

высказывания

истинны

Оба высказывания ложны

Рис. 4.22 Замечание.

!

На рис. 4.22 множества АиВ истинности высказываний а и Ь имеют общие элементы —

это говорит о том, что допустима одновременная истинность и а и Ь, т.е. а и Ь —

совместимые высказывания. Множества АиВ истинности несовместимых высказываний о

и и не имеют общих точек (рис. 4.18,а), но и в этом случае множество истинности

высказывания avb (точнее а у 6) - это множество АиВ.

• множество истинности высказывания ~а (иначе, множество «ложности» высказывания

а) — это множество А (рис. 4.19, заштрихованная область);

• множество истинности высказывания а-^b — множество АиВ; это объясняется тем, что

высказывание а-^Ь эквивалентно высказыванию ~avb (рис. 4.6, последние три столбца),

множеством истинности которого является множество AUB (рис. 4.23, заштрихованная

область); обратим внимание на то, что не заштрихованная на рис. 4.23 область — это

множест-