8 Дифференциальные модели од: метод малого параметра, условия работоспособности.

Дифференциальные модели ОД В ряде случаев в качестве диагностируемой модели можно рассмотреть характеристическое уравнение и анализируемое изменение коэффициентов или полюсов этого уравнения.

Условия работоспособности в области коэффициентов уравнения могут быть получены методом малого параметра. Пусть ОД описывается ДУ n-го порядка

, (1) f(t) – известная правая часть,

(1) – неоднородное ЛДУ. Полагая f(t)=0, переходим к однородному ДУ. Заменяя производные на оператор дифференцирования р, получим характеристическое уравнение (2)

Коэффициенты этого уравнения, которые описывают работу объекта в начале эксплуатации, называют номинальными коэффициентами, полюса уравнения обозначают . В результате старения элементов в процессе эксплуатации изменяются коэффициенты характеристического уравнения, и на каком-то этапе уравнение преобразуется в (3) (3) где - значения коэффициентов, соответствующие стареющим элементам, -- изменения коэффициентов относительно номинальных значений. Уравнение (3) будет иметь и др. полюсы в результате изменения коэффициентов :

-- функция изменения Будем считать, что изменения не очень большие, тогда полюсы уравнения (3) разложим в ряд Тейлора в окрестности номинальных коэффициентов (в окрестности полюсов ) и ограничимся линейной моделью ряда, т.е. первыми двумя членами:

, (4) -- вектор.

Т.о., если условия работоспособности объекта задать ограничением на перемещение корней характеристического уравнения

, то в области коэффициентов изменение можно определить из условия

Оценка коэффициентов ДУ (или характеристического полинома ПФ) осуществляется одним из методов идентификации.

Пример Объект описывается ПФ

Характеристическое уравнение: , где

Известны параметры системы

Тогда , и корни характеристического уравнения:

Предполагая, что изменяются параметры и , получим уравнение:

(5)

Находим полный дифференциал характеристического уравнения:

Получаем

(6)

Вычислим входящие в правые части (6) величины

Тогда

Т.о., соотношение (4) принимает вид:

В комплексной плоскости условия работоспособности объекта определяются допустимыми перемещениями полюсов

,

а в области коэффициентов необходимо соблюдение условий

9. Нелинейные регрессионные модели, приведение нелинейных моделей к линейным

Нелинейные регрессионные модели часто описывают наблюдаемый выход объекта более точно, чем линейные. Нелинейные модели можно разбить на 2 класса:

1. регрессии нелинейные относительно включенных объясняющих переменных (факторов), но линейные по оцениваемым параметрам.

В качестве примера нелинейная парная регрессия:

– один вход и среднее значение выхода.

; и т.д.

2. регрессии, нелинейные по оцениваемым параметрам:

– степенная функция;

– помехоустойчивая функция;

– экспоненциальная функция и т.п.

Для нелинейных моделей первого класса путем введения новых переменных нелинейные модели приводят к линейным:

– линейный двухфакторный.

Для второго класса два подкласса (модели, приводящие к линейным в результате преобразований, и модели, не приводящие к линейным).

– степенная регрессия.

Логарифмируем обе части по основанию :

.

Вводим переменные: .

Получаем линейную регрессию: , коэффициенты определяются в виде МНК – оценок.

Т.к. осуществляются нелинейные преобразования, то оценки являются несмещенными. Нелинейные модели, не приводимые к линейным используют численные методы нахождения оценок коэффициентов регрессии. На основании наблюдений формируются невязки:

, где .

Квадратичный критерий идентификации:

(27)

Если вид нелинейной регрессии известен, то задача получения модели сводится к определению коэффициентов регрессии, т.е. задача идентификации сводится к задаче параметрической идентификации, которая заключается в таком выборе векторов оценок коэффициентов регрессии , при котором критерий идентификации достигал бы . Т.е. приходим к задаче оптимизации без ограничений (на оценки коэффициентов регрессии никаких ограничений не накладывается). Для решения подобных задач используется, как правило, численные методы оптимизации.