- •Вопрос 1: Производная функции, ее геометрический и механический смысл.
- •Вопрос 2: Производная суммы, произведения и частного.
- •Вопрос 3: Производная сложной функции.
- •Вопрос 4: Производная обратной функции.
- •Вопрос 5: Производные высших порядков.
- •Вопрос 6: Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши, их применение.
- •Вопрос 7: Правило Лопиталя.
- •Вопрос 8: Условия монотонности функции. Экстремумы функции.
- •Вопрос 9: Отыскание наибольшего и наименьшего значений непрерывной на отрезке функции.
- •Вопрос 10: Исследование функций на выпуклость, вогнутость. Точки перегиба.
- •Вопрос 11: Асимптоты кривых. Общая схема построения функций.
- •Вопрос 12: Первообразная. Неопределенный интеграл, его свойства. Таблица основных формул интегрирования.
- •Вопрос 13 : Непосредственное интегрирование. Интегрирование по частям и подстановкой.
- •Вопрос 14: Интегрирование рациональных функций путем разложения на простейшие дроби.
- •Вопрос 15: Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические функции.
- •Вопрос 16: Интегрирование некоторых иррациональных выражений.
- •Вопрос 17: Определенный интеграл как предел интегральных сумм. Основные свойства определенного интеграла.
- •Вопрос 18: Формула Ньютона-Лейбница.
- •Вопрос 19:Вычисление определенного интеграла: интегрирование по частям.
- •Вопрос 20: Приложение интегралов к вычислению площадей плоских фигур.
Вопрос 13 : Непосредственное интегрирование. Интегрирование по частям и подстановкой.
Непосредственное (табличное) интегрирование - метод интегрирования, при котором интеграл путем тождественных преобразований подынтегральной функции (или выражения) и применения свойств интеграла приводится к одному или нескольким табличным интегралам.
Метод интегрирования по частям:
Интегрирование подстановкой (замена переменной): Если функция f ( z ) определена и имеет первообразную при z Z , а функция z = g ( x ) имеет непрерывную производную при x X и её область значений g ( X ) Z , то функция F ( x ) = f [ g ( x )] g' ( x ) имеет первообразную на Х и
F ( x ) dx = f [ g ( x )] • g' ( x ) dx = f ( z ) dz .
Вопрос 14: Интегрирование рациональных функций путем разложения на простейшие дроби.
Выражение вида: , где и – многочлены степени m и n.Если m<n дробь правильная, если m n – неправильная.
При вычислении интегралов вида: требуется выделить целую часть (деление многочлена на многочлен или выражением числителя через знаменатель)
А)
Б1: метод внесения под знак дифференциала Б2: выделение полного квадрата в знаменателе, представление числителя как дифференциал знаменателя, разложение на 2 интеграла.
(*)
Где m и n можно найти продифференцировав обе части неравенства (*) и приравняв соответствующие коэффициенты при степенях x, второй интеграл находится выделением полного квадрата в знаменателе.
В) n
Г) Интегралы вида: - В этом случае когда знаменатель дроби представлен в виде произведения неразложимых далее сомножителей, в этом случае, подъинтегральную дробь нужно представить в виде суммы простейших дробей со знаменателем x-a будет равно n1 штук причем в каждой следующей дроби показатель степени увеличивается на 1 в числителе должен стоять многочлен в общем виде степени на 1 меньше чем знаменатель. .
Далее приводим все дроби к общему знаменателю и приравниваем коэф. при соответствующих степенях находим Ai, Bi, Ci
Вопрос 15: Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические функции.
Рассмотрим интеграл вида:
Возможен следующий случай:
m и n – четные, тогда воспользуемся формулами понижения порядка:
хотя бы одно из m и n нечетное(пусть m – нечетное)
а)«метод отщипления»
б)домножение на функцию которая стоит в нечетной степени:
Интегралы вида:
Вычисляются с помощью: ; ;
Интегралы вида: , где R- производная функция, т.е. выполнено
, то применяется подстановка t=tgx =>
Вопрос 16: Интегрирование некоторых иррациональных выражений.
Интегралы вида:
1)
a) - выделение полного квадрата в знаменателе использование формул 5, 6
б) – внесение под знак дифференциала, разложение на суммы 2-ух интегралов и выделение полного квадрата в знаменателе.
2) – решается заменой подкоренного выражения
=>
Если в подъинтегральном выражении содержится несколько корней разных степеней то за новую переменную t нужно взять корень степени k из подкоренного выражения, где k – наименьшее общее выражение всех показателей корней входящих в подъинтегральную функцию т.е.:
) dx
ax+b = k=НОК(n1;n2)
2)
Интегрирование с помощью тригонометрических подстановок:
А)
Замена: