1.3 Законы распределения случайных величин.

В теории телетрафика часто используется предположение о пуассоновском законе распределения случайных величин. Такое предположение, например, было подтверждено экспериментально для потока вызовов, поступающих от абонентов телефонной станции. Для математического ожидания 𝜆 (интенсивность потока вызовов) плотность вероятности – p(x) определяется следующим образом[11,12]:

. (1.20)

Переменную «x» можно рассматривать как число вызовов, поступающих в течение интервала времени фиксированной длины. Функция распределения этого потока вызовов – F(x) равна нулю для x≤0. Для x>0 она определяется таким соотношением:

. (1.21)

Основные характеристики пуассоновского распределения приведены в таблице1.1 [12]

Таблица 1.1 - Основные характеристики пуассоновского распределения.

Математическое ожидание	Дисперсия	Асимметрия	Эксцесс
𝜆	𝜆

На рисунке1.6 показаны два примера функции f(t). В левой части рисунка 𝜆=1, а в правой –𝜆=3 [12].

Рисунок 1.6 - Два примера распределения Пуассона.

Второй интересный пример – дискретное равномерное распределение, приведенное на рисунке 1.7 [12]. Буквой «b» обозначена левая граница области изменения случайной величины. Допустим, что рассматриваемая случайная величина принимает n значений.

Рисунок 1.7 - Дискретное равномерное распределение .

Основные характеристики дискретного равномерного распределения приведены в таблице 1.2. [12]

Таблица 1.2 - Основные характеристики дискретного равномерного распределения.

Математическое ожидание	Дисперсия	Асимметрия	Эксцесс
		0

Для обоих примеров ФР будет ступенчатой. Это утверждение справедливо для всех законов распределения дискретных случайных величин.

В теории телетрафика часто используется экспоненциальное распределение, для которого функции f(t) и F(t) определяются такими формулами [11,12]:

. (1.22)

. (1.23)

Основные характеристики экспоненциального распределения будут приведены после следующего примера. Рассмотрим распределение Эрланга k-го порядка. Функции f(t) и F(t) для этого распределения вычисляются следующим образом[11,12]:

(1.24)

. (1.25)

Очевидно, что при k=1 мы получаем экспоненциальное распределение. Несложно убедиться, что при k→∞ эта формула определяет детерминированное (вырожденное) распределение. Это свойство позволяет эффективно использовать распределение Эрланга k-го порядка для многих моделей телетрафика. Численные характеристики последних распределений приведены в таблице 1.3. [12]

Таблица 1.3 - Численные характеристики экспоненциального распределения и распределения эрланга k-го порядка.

Название распределения	Математическое ожидание	Дисперсия	Асимметрия	Эксцесс
Экспоненциальное			2	6
Эрланга k-го порядка

На рисунке 1.8 показано семейство распределения Эрланга k-го порядка [12]. Приведены три кривые f(t) для различных значений k. Для всех трех кривых принято, что математическое ожидание равно единице.

Рисунок 1.8 - Семейство распределений Эрланга k-го порядка.

Последний пример связан с распределением случайной величины на ограниченном интервале. Речь идет о равномерном распределении на отрезке времени[a,b]. В этом интервале функции f(t) и F(t) определяются следующим образом[12]:

, (1.26)

. (1.27)

На рисунке 1.9 показаны функции f(t) и F(t). Основные характеристики этого распределения представлены в таблице.

Рисунок 1.9 - Равномерное распределение на интервале [a,b].

Основные характеристики равномерного распределения приведены в таблице1.4.[12]

Таблица 1.4 - Основные характеристики равномерного распределения.

Математическое ожидание	Дисперсия	Асимметрия	Эксцесс
		0	–1,2