67. Деревья. Теорема о деревьях (без доказательства).

Дерево - это связный граф без циклов.

Теорема: в графе типа дерева с n вершинами n-1 ребер.

68. Предмет теории кодирования, алфавитное кодирование.

Кодирование – это преобразования информации в формулу удобную для передачи по определенному каналу связи. Декодирование – восстановление принятого сообщения из-за кодированного вида в вид доступный для потребителя.

В общем случае задачу кодирования можно представить следующим образом: Пусть заданы два алфавита А и В, состоящие из конечного числа символов:

А={a1,a2,…,an} и B={b1,b2,…,bn}. Элементы алфавита называются буквами. Упорядоченный набор в алфавите А назовем словом a=a1,a2,…,ai,…,an, где i принадлежит [1;n]. n называется длиной слова и обозначается | a |. Пустое слово обозначается /\. |/\|=0. Для слова a а1 является началом, а аn – окончанием. Множество всех непустых слов алфавита А обозначим А*: A*={ a, | a |>0}. Множество А называют алфавитом сообщений, а множество В — кодирующим алфавитом. Множество слов, составленных в алфавите В, обозначим В*. Обозначим через F отображение слов алфавита А в алфавит В. Тогда слово B=F(a) назовем кодом слова a. Кодированием называют универсальный способ отображения информации при ее хранении, передаче и обработке в виде системы соответствий между элементами сообщений и сигналами, при помощи которых эти элементы можно зафиксировать. Таким образом, код — правило однозначного преобразования (т.е. функция) сообщения из одной символической формы представления (исходного алфавита А) в другую (объектный алфавит В), обычно без каких-либо потерь информации. Процесс преобразования F: А*→В* слов исходного алфавита А в алфавит В называется кодированием информации. Процесс обратного преобразования называется декодированием.

69. Префиксный код. Теорема о префиксном коде.

Пре́фиксный код в теории кодирования — код со словом переменной длины, имеющий такое свойство (выполнение условия Фано): если в код входит слово a, то для любой непустой строки b слова ab в коде не существует. Хотя префиксный код состоит из слов разной длины, эти слова можно записывать без разделительного символа.

• Например, код, состоящий из слов 0, 10 и 11, является префиксным, и сообщение 01001101110 можно разбить на слова единственным образом: 0 10 0 11 0 11 10

• Код, состоящий из слов 0, 10, 11 и 100, префиксным не является, и то же сообщение можно трактовать несколькими способами: 0 10 0 11 0 11 10 0 100 11 0 11 10

Теорема: Если |B| = q и натуральные числа l1, l2, …, lr удовлетворяют неравенству:

то существует префиксный код B1, B2, …, Br (в алфавите B) такой, что

длина(Bi) = li (i = 1, 2, …, r).

70. Разделимый код. Теорема Маркова (без доказательства).

Кодирование A* → B* называется взаимно однозначным (декодируемым,

разделимым), если для любых слов и

Теорема: Пусть : ai → Bi (i = 1, 2, …, r) — некоторое кодирование.

Пусть W — максимальное число кодовых слов, которые «помещаются» подряд внутри кодового слова. Пусть li — длина слова Bi и . Тогда если кодирование не взаимно однозначно, то существуют два различных слова a' A*, a'' A*,