Перестановки и сочетания
Если
в некотором множестве А переставлять
местами элементы, оставляя неизменным
их количество, то каждая полученная
таким образом комбинация называется
перестановкой. Общее число перестановок
из m элементов обозначается Pm и вычисляется
по формуле:
Если
из т элементов составлять группы по п
элементов в каждой, не обращая внимания
на порядок элементов в группе, то
получившиеся при этом комбинации
называются сочетаниями из т элементов
по п. Общее
число сочетаний находится по формуле:
Формулы о подсчете числа подстановок из сочетаний с повторениями и без повторений.
Число размещений с повторениями
Теорема: Число размещений с повторениями A’nr = nr.
Доказательство: В r-размещении (а1, a2,…,ar) элемент а1 в n-элементном множестве M можно выбрать n способами, элемент a2 – тоже n способами, наконец, элемент ar – n способами. По правилу произведения A’nr.
Следствие: Число перестановок с повторениями Cnr = n!/(r!(n-r)!).
Число сочетаний без повторений
Теорема: Число сочетаний без повторений Cnr = n!/(r! (n-r)!).
Доказательство: Каждому r-сочетанию (а1, a2,…, ar) n-элементного множества соответствует r! перестановок. Тогда число размещений A’nr = Cnrr! откуда и следует требуемая формула.
Число сочетаний с повторениями
Теорема: Число сочетаний с повторениями C’nr = C’n+1-r.
Доказательство: Каждому r-сочетанию из n-элементного множества M сопоставим набор (k1, k2,…, kn) из натуральных чисел, указывающих число повторов каждого элемента из M в выбранном сочетании. При этом k1 +k2 +…+ kn = r. Например, если M = {a,b,c,d,e}, то сочетанию (a,a,c,c,c,e,e) сопоставим набор (2,0,3,0,2), то есть элементы a,b,c,d,e множества M встречаются в сочетании (а,а,с,с,с,е,е) соответственно 2,0,3,0,2 раз. Каждому полученному набору (k1, k2, …, kn) сопоставим набор (l1, l2,…,ln), где li = k1 +1, i = 1,2,…, n. Тогда l1+l2+…+ln = k1+k2 +…+kn +n = r+n. Каждый полученный набор (l1, l2, …, ln) взаимнооднозначно соответствует числу n+r ненулевых слагаемых l1, l2,…,ln. Разделим n+r последовательно записанных звездочек вертикальными разделительными черточками на n непустых частей, состоящих соответственно из l1, l2,…,ln звездочек. Для нашего примера получим следующее разбиение:
* * * | * | * * * * | * | * * *
l1 =3 l2 =1 l3 =4 l4 =1 l5=3
k1 =2 k2 =0 k3 =3 k4 =0 k5=2
Каждому разбиению числа n+r на n ненулевых слагаемых взаимнооднозначно соответствует распределение n-1 разделителей, которые можно расставить в n+r-1 пробелах между звездочками Cn+r-1n-1 способами. Следовательно, число сочетаний с повторениями C’nr = Cn+r-1.
Высказывания. Операции над высказываниями.
Понятие «высказывание» является первичным, оно не определяется, а поясняется. Под высказыванием понимают предложение, о котором можно сказать одно из двух: истинно оно или ложно. Высказывания обозначаются малыми латинскими буквами x, y, z,…, а их значения, т.е. истину и ложь, соответственно 1 и 0. Все логические операции являются высказываниями. Логическая операция, соответствующая связке «и», называется конъюнкцией. Данное высказывание истинно тогда и только тогда, когда истинны оба высказывания x и y истинны Логическая операция, соответствующая связке «или», называется дизъюнкцией.
Данное высказывание истинно тогда и только тогда, когда хотя бы одно из высказываний x и y истинно. Логическая операция, соответствующая связке «не», называется отрицанием. Логическая операция, соответствующая связке «если … то», называется импликацией. Импликация двух высказываний x и y задается следующей таблицей истинности:
x |
y |
x_y |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
|
|
|
Логическая операция, соответствующая связке «тогда и только тогда, когда …» называется эквивалентностью и обозначается символом n. Данное высказывание истинно тогда и только тогда, когда оба
высказывания x и y или истинны или ложны.