- •1. Задачи математического программирования называются также статическими задачами оптимизации.
- •2. Определение. Переменная величина называется функционалом от функции , если каждой функции из некоторого множества функций соответствует определенное значение .
- •4. Простейшей задачей вариационного исчисления называется задача об экстремуме функционала вида (2.1) с граничными условиями: , .
- •5. . Для того чтобы функционал
- •6. Изопериметрическими задачами, в узком смысле этого слова, называются задачи об отыскании геометрической фигуры максимальной площади при заданном периметре.
- •7. Исследуем на экстремум функционал, зависящий от функций,
- •8. 2.5. Основная формула для вариации функционала
- •12. Введем новые переменные и преобразуем основную формулу для вариации функционала (2.11):
- •15.Выражение для выражение для второй вариации принимает вид
- •18. Введение игольчатой вариации управления [1] позволило получить необходимое условие минимума функционала при ограничениях на управление.
- •19. Следующее дифференциальное уравнение для вектора – функции :
- •6. Окончательно задача оптимального управления приводится к краевой задаче для системы обыкновенных дифференциальных уравнений
- •24. . Задача программирования оптимального управления
- •2. Задача синтеза оптимального управления
- •25. Рассмотрим следующую задачу синтеза оптимального управления линейной динамической системой
- •27. Доказательство принципа максимума было проведено без учета ограничений на вектор состояния. Рассмотрим теперь следующую постановку задача. Дана автономная динамическая система
- •29. Запишем уравнение Беллмана (4.4)
- •30. Рассмотрим решение задачи минимизации, когда функционал содержит только терминальный член: , .
- •31. Рассмотрим следующую задачу синтеза оптимального управления линейной динамической системой
- •32. Рассмотрим задачу оптимального управления дискретной динамической системой
- •33. Рассмотрим линейную дискретную систему
- •34. При решении задачи синтеза оптимального управления нелинейной динамической системой
- •39. Пусть имеется функция , определенная на множестве . Требуется найти
- •40. Пусть задана динамическая система
2. Определение. Переменная величина называется функционалом от функции , если каждой функции из некоторого множества функций соответствует определенное значение .
Считается, что функционал задан, если каждой функции поставлено в соответствие некоторое число: .
Рис.2.1. Длина дуги кривой – функционал от функции
Например, функционалом является длина дуги плоской кривой, соединяющей две точки и (рис. 2.1).
Величина может быть вычислена, если задано уравнение кривой :
.
Запишем общее выражение для функционала в следующем виде:
, (2.1)
где - одна из возможных непрерывно дифференцируемых функций на отрезке .
Существует связь задачи вариационного исчисления с задачей отыскания экстремума функции многих переменных: если разбить отрезок на частей и рассмотреть ломаную линию вместо кривой , а функционал заменить суммой
,
где , то вариационная задача трансформируется в задачу о нахождении экстремума функции переменных и может быть решена классическими методами. Такой подход впервые был предложен Л. Эйлером.
Определение. Пространство, элементами которого являются функции, называется функциональным.
Функциональные пространства выбираются в соответствии с характером вариационной задачи. Например, при рассмотрении функционалов вида
функция должна иметь непрерывную первую производную; при рассмотрении функционалов вида
функция должна иметь непрерывные первую и вторую производные и т.д.
Назовем линейным пространством совокупность элементов , для которых определены операции сложения и умножения на число и выполняются следующие аксиомы:
коммутативности сложения ,
ассоциативности сложения ,
существования нулевого элемента ,
существования противоположного элемента : ,
существования единичного элемента ,
ассоциативности умножения , где и ‑ числа,
дистрибутивности по сложению ,
дистрибутивности по умножению .
Линейное пространство называется нормированным, если каждому элементу поставлено в соответствие неотрицательное число (норма этого элемента) такое, что выполняются свойства:
положительной определенности , причем только при ,
однородности ,
неравенства треугольника .
Введем понятие близости элементов, используя понятие нормы их разности, которое аналогично понятию расстояния между точками в евклидовом пространстве.
Рассмотрим пространство , состоящее из непрерывных функций, определенных на отрезке . Норму функции определим как . Расстояние между точками , пространства будет . Функции и близки в смысле близости нулевого порядка, если модуль разности не превышает некоторой наперед заданной малой положительной величины : . Такая окрестность называется сильной (рис. 2.2).
Рис. 2.2. Сильная окрестность кривой
Рассмотрим пространство , состоящее из непрерывных функций, определенных на отрезке и имеющих непрерывные первые производные. Очевидно, . Функции и близки в смысле близости первого порядка, если модули разностей и , а также не превышают некоторой наперед заданной малой положительной величины : , , так что . Такая окрестность называется слабой (рис. 2.3).
Рис. 2.3. Слабая окрестность кривой
Соответственно вводится понятие близости k-го порядка, соответствующее функциональному пространству .
Определение. Функционал называется непрерывным при , если для любого положительного можно подобрать , такую что при , где норма, определенная в смысле близости функций и k-го порядка.
Определение. Линейным называется функционал , удовлетворяющий следующим условиям.
1. Функционал является непрерывным,
2. ,
3. .
Общий вид линейного функционала
. (2.2)
Определение. Функционал , определенный для всех функций на множестве , называется квадратичным функционалом, если он приводится к виду
. (2.3)
3. Рассмотрим некоторый функционал и его приращение , где - вариация .
Определение. Вариацией функции , принадлежащей определенному классу функций, называется разность между двумя функциями при одинаковом значении аргумента : .
Определение. Если можно представить в виде
, (2.4)
где при , то линейная по отношению к часть приращения функционала, т.е. , называется первой вариацией функционала и обозначается .
Функционал достигает экстремума при , если величина приращения функционала сохраняет свой знак в некоторой окрестности . Различают сильный и слабый экстремумы.
Если существует величина , такая что сохраняет знак для всех , входящих в пространство , у которых норма , то говорят, что при достигается слабый экстремум функционала.
Аналогично, экстремум называется сильным, если сохраняет знак для всех и удовлетворяет условию . Всякий сильный экстремум будет одновременно и слабым, но не наоборот, так как слабый экстремум достигается на более узком множестве функций, поскольку .
Теорема 2.1. Для того чтобы функционал достигал экстремума при , необходимо, чтобы при .
Доказательство. Пусть функционал имеет минимум при , тогда
,
с другой стороны .
При достаточно малом знак определяется знаком , а в силу линейности имеем: . Следовательно, может быть и меньше, и больше 0 при сколь угодно малом разного знака, т.е. экстремум невозможен. Противоречие устраняется, если . Аналогично доказывается необходимое условие максимума функционала.