15.Выражение для выражение для второй вариации принимает вид

. (2.38)

Из выражения (2.38) следует, что знак второй вариации определяется знаком производной . Следовательно, необходимым условием слабого минимума функционала является условие

. (2.39)

Это условие называется условием Лежандра.

Замечание. Для случая функционалов, зависящих от функций , условие Лежандра сводится к требованию положительной определенности матрицы .

Условие Лежанжра, как и уравнение Эйлера, носит локальный характер, т.е. относится не к кривой в целом, а к ее отдельным точкам, поэтому не является достаточным для экстремума (минимума или максимума).

Неотрицательность второй вариации необходима, но не достаточна для того, чтобы функционал достигал на кривой своего минимума. Дополнительное требование заключается в том, чтобы экстремаль была включена в поле экстремалей, т.е. принадлежала бы семейству экстремалей, не имеющих сопряженных точек на отрезке .

Сформулируем систему условий, необходимых и достаточных для того, чтобы допустимая кривая реализовала слабый минимум функционала . Эта совокупность условий состоит в следующем.

1. является экстремалью, т.е. удовлетворяет уравнению Эйлера:

.

2. Вдоль кривой выполняется усиленное условие Лежандра

.

3. Отрезок не содержит точек, сопряженных с начальной точкой (условие Якоби).

16. Рассмотрим функционал , и получим для него условия сильного минимума.

Определение. Функцией Вейерштрасса функционала называется выражение

, (2.40)

где - наклон поля экстремалей.

Функция представляет собой разность между значением и первыми двумя членами в ее разложении в ряд Тейлора..

Предположим, что в простейшей задаче об экстремуме функционала условие Якоби выполнено и, следовательно, экстремаль , проходящая через граничные точки, может быть включена в центральное поле, наклон которого равен . Можно показать [1], что в этом случае приращение функционала приводится к выражению

. (2.41)

Очевидно, что достаточным условием достижения функционалом на кривой минимума будет неотрицательность функции , а достаточным условием максимума  неположительность функции . Это условие называется условием Вейерштрасса. При этом для слабого минимума достаточно, чтобы неравенство выполнялось при значениях и , близких к значениям , на исследуемой экстремали, и при значенях , близких к , а для сильного минимума  при произвольных .

Следовательно, необходимыми и достаточными условиями сильного экстремума в этом случае будут следующие условия.

1. Кривая является экстремалью, удовлетворяющей граничным условиям и уравнению Эйлера.

2. Экстремаль может быть включена в поле экстремалей; сопряженные точки на отрезке отсутствуют.

3. Функция не меняет знака во всех точках , близких к и для производных (в случае минимума , максимума ).

Связь условия Вейерштрасса с условием Лежандра

Пусть класс функций включает функции, для которых при одинаковых значения аргумента координаты , близки к значениям , на экстремали . Пусть функция трижды дифференцируема по аргументу . По формуле Тейлора получим

,

где заключено между и . С учетом (2.40), (2.41) имеем

. (2.42)

Отсюда видно, что функция сохраняет знак, если сохраняет знак , т.е. в данном случае слабого экстремума условие Вейерштрасса совпадает с условием Лежандра.

17. Рассмотрим непрерывную динамическую систему, описываемую системой обыкновенных дифференциальных уравнений

(3.1)

где - вектор состояния системы размерности (фазовый вектор, вектор фазовых координат), - вектор управления размерности , - время, определенное на отрезке ( может быть фиксированным и свободным), - вектор-функция правых частей размерности .

В общем случае на векторы и накладываются условия принадлежности

, , (3.2)

где и - допустимые множества векторов состояния и управления.

Требуется определить управление , которое переводит систему (3.1) с учетом ограничений (3.2) их начального состояния в конечное при минимальном значении критерия оптимальности (функционала)

. (3.3)

Функционалы вида (3.3) называются интегротерминальными критериями. При и задача называется задачей Больца, при - задачей Майера, при - задачей Лагранжа.

В дальнейшем будем полагать, что начальное состояние фиксировано, а конечное может быть заданным, свободным или принадлежать некоторому множеству .