5. Инвариантное определение дивергенции, соленоидальные поля.

Рассмотрим произвольную точку M в пространственной области V. Выберем ее окрестность VM – шар радиуса r с центром в точке M. Обозначим - ее границу – сферу радиуса r. По теореме о среднем для тройного интеграла (по формуле Остроградского – Гаусса). Стягиваем окрестность к точке M, получаем дивергенцию векторного поля в точке M. . Это и есть инвариантное определение дивергенции. Поэтому дивергенция векторного поля в точке M имеет смысл объемной плотности потока векторного поля через окрестность этой точки и характеризует мощность источника (если >0) или стока (если <0) векторного поля в точке M. Если >0, то точка M – источник векторного поля, если <0, то точка M – сток векторного поля. Если в некоторой области дивергенция равна нулю, то в этой области нет ни источников, ни стоков, поток векторного поля через границу такой области равен нулю – «сколько поля втекает в область, столько и вытекает из нее». Пример. Определить расположение источников и стоков векторного поля . Выяснить, является ли точка M(1,2,3) источником или стоком.

. Все точки, для которых 2xy+xz >0 – источники, все точки, для которых 2xy+xz <0 – стоки. На поверхности 2xy+xz = 0 нет ни источников, ни стоков. Точка M – источник, так как .

Свойства 1) Линейность: для любых векторных полей F и G и для всех вещественных чисел a и b

2) Если φ — скалярное поле, а F — векторное, тогда: или

3) Свойство, связывающее векторные поля F и G, заданные в трёхмерном пространстве, с ротором: или 4) Дивергенция от градиента есть лапласиан: 5) Дивергенция от ротора:

Соленоидальное поле и его свойства.Векторное поле называется соленоидальным в области V, если в любой точке M этой области

Свойства 1) Для того чтобы поле было соленоидальным, необходимо и достаточно, чтобы поток через любую замкнутую поверхность равнялся нулю. 2) Необходимость следует из формулы Остроградского – Гаусса, достаточность – из инвариантного определения дивергенции. 3) Поток соленоидального поля через любую поверхность, окружающую изолированный источник или сток, один и тот же. 4) Поток соленоидального поля через произвольное сечение векторной трубки один и тот же.

Следствие. Векторные линии соленоидального поля не могут начинаться и заканчиваться внутри поля. В самом деле, иначе конечный поток приходился бы на нулевую площадь источника или стока, что требовало бы бесконечной мощности источника или стока.

6. Линейный интеграл. Ф-ла Стокса.

Линейным интегралом векторного поля по дуге L называется криволинейный интеграл . Линейный интеграл имеет смысл работы векторного поля при перемещении по дуге. Циркуляцией векторного поля называется линейный интеграл по замкнутому контуру. . Вводя эти понятия, можно записать формулу Стокса в «полевой» форме. . Мы определили ротор векторного поля в декартовой системе координат, однако ротор – это характеристика самого векторного поля Поэтому необходимо дать определение ротора, которое не зависит от выбора системы координат. Пусть поверхность S ограничена кусочно-гладким контуром L. Пусть функции: P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z) – непрерывно дифференцируемы на поверхности S. Тогда имеет место формула Стокса: т. е. формула Стокса устанавливает связь между интегралом по поверхности и криволинейным интегралом по контуру, ограничивающему эту поверхность.