9. Закон Архимеда

В теоретической физике применяют закон Архимеда в интегральной форме: , где  — площадь поверхности,  — давление в произвольной точке, интегрирование производится по всей поверхности тела.

Вывод закона Архимеда для тела произвольной формы.Гидростатическое давление жидкости на глубине есть . При этом считаем давление жидкости и напряжённость гравитационного поля постоянными величинами, а  — параметром. Возьмём тело произвольной формы, имеющее ненулевой объём. Введём правую ортонормированную систему координат , причём выберем направление оси z совпадающим с направлением вектора . Ноль по оси z установим на поверхности жидкости. Выделим на поверхности тела элементарную площадку . На неё будет действовать сила давления жидкости направленная внутрь тела, . Чтобы получить силу, которая будет действовать на тело, возьмём интеграл по поверхности:

При переходе от интеграла по поверхности к интегралу по объёму пользуемся обобщённой теоремой Остроградского-Гаусса.

Получаем, что модуль силы Архимеда равен , а направлена она в сторону, противоположную направлению вектора напряжённости гравитационного поля.

10 Основные понятия теории вероятностей, аксиоматическое, классическое и геометрическое определения. Опр. Событием называется всякий факт, который может произойти или не произойти в результате опыта. Опр. События называются несовместными, если появление одного из них исключает появление других.Опр. Полной группой событий называется совокупность всех возможных результатов опыта. Опр. Достоверным событием называется событие, которое наверняка произойдет в результате опыта. Событие называется невозможным, если оно никогда не произойдет в результате опыта. Опр. События называются равновозможными, если нет оснований считать, что одно из них появится в результате опыта с большей вероятностью. Опр. Вероятностью события А называется математическая оценка возможности появления этого события в результате опыта. Вероятность события А равна отношению числа, благоприятствующих событию А исходов опыта к общему числу попарно несовместных исходов опыта, образующих полную группу событий. Значение вероятности любого события – есть положительное число, заключенное между нулем и единицей. Опр. Относительной частотой события А называется отношение числа опытов, в результате которых произошло событие А к общему числу опытов. Отличие относительной частоты от вероятности заключается в том, что вероятность вычисляется без непосредственного произведения опытов, а относительная частота – после опыта. При достаточно большом числе произведенных опытов относительная частота изменяется мало, колеблясь около одного числа. Это число может быть принято за вероятность события. На практике сложно представить результат опыта в виде совокупности элементарных событий, доказать, что события равновероятные. Классическое определение вероятности неприменимо к испытаниям с бесконечным числом исходов. Чтобы преодолеть этот недостаток вводится понятие геометрической вероятности, т.е. вероятности попадания точки в какой – либо отрезок или часть плоскости (пространства).

11Зависимость и независимость событий. Без преувеличения можно сказать, что понятие независимости является одним из ключевых в теории вероятностей. Мы начинаем с обсуждения независимости двух событий. Опр. События и называются независимыми, если Зам.   Если и независимы и , то Аналогично, если и независимы (и ),

12 Следствия из аксиом теории вер. Аксиомы вероятности: 1) Каждому событию А соответствует неотрицательное действительное число Р(А), называемое вероятностью события А. 2) Вероятность достоверного события равна единице, то есть . 3) Если А и В – несовместные события, то Р(А+В) = Р(А) + Р(В).

Следствия из аксиом теории вероятностей: 1) Вероятность события , противоположного событию А вычисляют по формуле: . Доказательство: Так как события А и противоположны, то и на основании аксиом 2 и 3 имеем , откуда следует искомое равенство . 2) Вероятность невозможного события равна нулю, то есть: . Доказательство: Так как , то на основании следствия 1 имеем: . 3) Если событие А влечет за собой событие В, то вероятность события А меньше или равна вероятности события В, то есть , если . Доказательство: Пусть , тогда где .  Согласно аксиоме 3 имеем , но (аксиома 1). Отсюда . 4) Вероятность события А есть число, заключенное между нулем и единицей, то есть . Доказательство: Из соотношения и аксиомы 1 следует и , следовательно . 5) Если А и В два произвольных события, которые могут и пересекаться, то справедливо соотношение . Доказательство: Представим объединение событий А и В в виде суммы двух непересекающихся событий А и , то есть , с другой стороны , где . Согласно аксиоме 3 имеем . Из последних равенств получаем . Замечание. Вероятность, как следует из сказанного выше, рассматривается как функция от случайного события.

13 Эл-ты комбинаторики. Комбинаторика – это наука о расположении элементов в определенном порядке и о подсчете числа способов такого расположения. Комбинаторный принцип умножения если одну часть действия можно выполнить способами, а другую - способами, то все действие можно выполнить числом способов. Комбинаторный принцип сложения. Если два действия взаимно исключают друг друга, и одно из них можно выполнить способами, а другое - способами, то оба действия можно выполнить числом способов. Выборкой объема из множества называется всякая последовательность из элементов множества . Если элементы в выборке не повторяются, то выборка называется бесповторной, иначе – выборкой с повторениями. При бесповторной выборке все равно, каким образом осуществляется выбор: берутся все элементы сразу, или же поочередно (по одному). Расположение элементов выборки в определенном порядке называется упорядочением, при этом выборка называется упорядоченной, в противном случае – неупорядоченной. Расположение различных элементов в определенном порядке называется перестановкой без повторений из элементов. Число различных перестановок без повторений из элементов обозначается и равно , т.е. . Сочетанием без повторений из элементов по называется неупорядоченное -элементное подмножество -элементного множества. Число сочетаний без повторений из элементов по равно : Размещением без повторений из элементов по называется упорядоченное -элементное подмножество -элементного множества. Теорема. Число размещений без повторений из элементов по равно: .Свойства сочетаний без повторений: 1) Доказательство. Поскольку и , то утверждаемое очевидно. 2) (без доказательства).

14 Ф-ла полной вероятности и ф-ла Байеса. Предположим, что событие может осуществляться только с одним из несовместных событий . Например, в магазин поступает одна и та же продукция от трех предприятий в разном количестве. Существует разная вероятность выпуска некачественной продукции на разных предприятиях. Случайным образом отбирается одно из изделий. Требуется определить вероятность того, что это изделие некачественное (событие ). Здесь события — это выбор изделия из продукции соответствующего предприятия. В этом случае вероятность события можно рассматривать как сумму произведений событий .По теореме сложения вероятностей несовместных событий получаем . Используя теорему умножения вероятностей, находим (3.1). Формула (3.1) носит название формулы полной вероятности. Пример. Для рассмотренного выше случая с поступлением товара в магазин от трех предприятий зададим численные значения. Пусть от первого предприятия поступило 20 изделий, от второго — 10 изделий и от третьего — 70 изделий. Вероятности некачественного изготовления изделия на предприятиях соответственно равны 0,02; 0,03 и 0,05. Определить вероятность взятия некачественного изделия. Решение. Вероятности событий будут равны P(А1) = 0,2; P(А2) = 0,1; P(А3) = 0,7. Используя формулу (3.1), находим P(B) = 0,2×0,02 + 0,1×0,03 + 0,7×0,05 = 0,042.Формула Байеса. Пусть событие происходит одновременно с одним из несовместных событий . Требуется найти вероятность события , если известно, что событие произошло. На основании теоремы о вероятности произведения двух событий можно написать Откуда или (3.2)

Формула (3.2) носит название формулы Байеса. Пример. Три организации представили в контрольное управление счета для выборочной проверки. Первая организация представила 15 счетов, вторая — 10, третья — 25. Вероятности правильного оформления счетов у этих организаций известны и соответственно равны: 0,9; 0,8; 0,85. Был выбран один счет и он оказался правильным. Определить вероятность того, что этот счет принадлежит второй организации. Решение. Пусть — события выбора счета у первой, второй и третьей организаций. Соответствующие вероятности будут , , По формуле полной вероятности определяем вероятность выбора правильно оформленного счета . По формуле Байеса находим исходную вероятность .