- •2) Дифференцируема на интервале (a;b) ;
- •1) Непрерывна на отрезке [a;b];
- •2) Дифференцируема на интервале (a;b).
- •2. Признаки монотонности ф-ии
- •3.Необходимые и достаточные условия экстремума функции
- •4. Выпуклость и вогнутость графика функции. Точка перегиба
- •5. Асимптоты графика функции
- •6. Касательная и нормаль к плоской кривой
- •8. Частные производные и полный дифференциал
- •10. Первообразная. Неопределенный интеграл
- •11. Таблица интегралов
- •12. Общие методы интегрирования
- •13.Интегрирование простейших рациональных дробей
- •14. Разложение рациональных дробей на сумму элементарных дробей
- •15. Интегрирование простейших иррациональных выражений
- •16. Определение определенного интеграла
- •17. Основные свойства определенного интеграла(с док-вом)
- •18. Определенный интеграл с переменным пределом интегрирования. Теорема Барроу(док-во)
- •19Ньютона-Лейбница(док-во)
- •20. Методы вычисления определенного интеграла
- •21. Вычисление площадей с помощью определенного интеграла(в прямоугольной и полярной системе координат)
- •24. Интеграл с бесконечными пределами и от неограниченной ф-ии
- •25. Понятие о диф уравнении. Основные поянтия(решение, общее решение, задача Коши)
- •26. Диф уравнение с разделяющимися переменными. Однородные диф уравнения
- •37. Признак Лейбница
- •41. Разложение элементарных функций в степенной ряд Тейлора и Маклорена
4. Выпуклость и вогнутость графика функции. Точка перегиба
Определение. График функции у=f(x),дифференцируемой на интервале (а;b), имеет на этом интервале выпуклость, направленную вверх (вниз), если график этой функции в пределах интервала (а;b) лежит не выше (не ниже) любой своей касательной. Теорема (об условиях выпуклости вверх или вниз). Пусть функция y = f (x) определена на интервале (a;b) и имеет непрерывную, не равную нулю в точке x0 ∈(a;b) 0 вторую производную. Тогда, если f ''(x) > 0 всюду на интервале (a;b) , то функция имеет выпуклость вниз на этом интервале, если f ‘’(x) < 0, то функция выпукла вверх.
Определение. Точкой перегиба графика функции y=f(x) называется точка M(x1 ,f(x1 )) , разделяющая промежутки выпуклости вверх и вниз. Иными словами, точка M(x1 ,f(x1 )) -
точка перегиба кривой, если в этой точке кривая переходит с одной стороныкасательной на другую, меняя направление выпуклости. Теорема (о необходимом условии точки перегиба).
Если M(x 1,f(x1 )) есть точка перегиба дважды дифференцируемой функции y = f (x), то f ‘’(x1 ) =0 или f ''(x1 ) = ∞ .
теорема (о достаточном условии точки перегиба).
Если вторая производная f ‘’(x) дважды дифференцируемой функции при переходе через некоторую точку x1 меняет знак, причем f ‘’(x1 ) =0 , то точка M(x1 ,f(x1 )) есть точка перегиба кривой y = f (x).
Схема исследования функции на выпуклость
1) Найти вторую производную функции;
2) найти точки, в которых вторая производная равна нулю
или обращается в бесконечность;
3) исследовать знак производной слева и справа от каждой
найденной точки и сделать вывод об интервалах выпуклости и
точках перегиба;
4) найти значения функции в точках перегиба.
5. Асимптоты графика функции
Прямая x = x0 называется вертикальной асимптотой графика функции y=f(x), если хотя бы одно из предельных значений limx→x −0 f(x ) или limx→x+0 f(x ) равно + ∞ или − ∞.
Прямая y = y0 называется горизонтальной асимптотой графика функции y=f(x), если хотя бы одно из предельных значений lim x→+∞f (x)или lim x→-∞f (x)равно b. График функции может иметь
только правую горизонтальную асимптоту или только левую.
Прямая y = kx + b называется наклонной асимптотой графика функции y=f(x), если lim x→+∞(f(x)-kx-b)= 0, т.е. когда функция при x →∞ представима в виде f (x) = kx + b +α(x) , где lim x→+∞α(x) = 0.
Существование асимптоты y = kx + b у кривой y=f(x) при x →∞ означает, что при x →∞ функция ведет себя «почти как линейная», т. е. отличается от линейной функции y = kx + b бесконечно мало . Наклонная асимптота может быть как правой так и левой.
Теорема (об условиях существования наклонной асимптоты)
Если для функции y = f (x) существуют пределы lim x→∞ и lim x→∞ , то функция имеет наклонную асимптоту y = kx + b при x →∞.
6. Касательная и нормаль к плоской кривой
Пусть даны кривая y = f(x) и точка M (x1 ; y1) на ней. Требуется составить уравнения касательной и нормали (смотри рисунок).
Как известно, угловой коэффициент k касательной к кривой y = f(x) в точке M (x1 ; y1) равен значению f '(x1) производной y' = f '(x) при x = x1/ Следовательно, уравнение касательной можно записать в виде уравнения прямой, проходящей через данную точку в данном направлении, т.е. в виде y - y1 = f '(x1)(x - x1)
Нормалью называется прямая, проходящая через точку касания перпендикулярно касательной. поэтому ее угловой коэффициент равен , а уравнение записывается в виде
7. Ф-ии нескольких переменных. Основные понятия (область определения, предел,, непрерывность)
Определение 4.1. Если каждой точке M(x1 ,x2 ,...,xn ) некоторой области D из пространства Rn соответствует вполне определенное число z ∈ R, то говорят, что задана функция n переменных z=f(x1,x2 ... xn) (z=f (M )). обозначается D( f ) .
Множество D называется областью определения функции и обозначается D( f ) .Обычно под областью определения аналитически заданной функции подразумевается ее естественная область определения.
Множество E( f ) = {z∈R z = f (M), M ∈D( f )} называется областью значений функции f . Если n = 2, то функция z = f (M) переходит в функцию двух независимых переменных z = f (x, y) , где (x, y)∈D ⊂ R2 .
Определение 4.4. Говорят, что последовательность точек M1(x1,y1), M2 (x2,y2)…Mn (xn, yn) плоскости x0y сходится к точкеM0(x0,y0), если расстояние dn= = стремится к нулю когда n→∞.
Определение 4.5. Число A называется пределом функции f (x, y) в точке M0 , если для любой последовательности точек M1 ,M2 ,Mn…. сходящейся к точке M0 , соответствующая последовательность значений функции f(M1), f(M2)….f(Mn) сходится к числу А : limM→M0 f(M)
Определение 4.7. Функция z = f (x, y) называется непрерывной в точке M0(x0,y0) , если она определена в самой точке M0 и некоторой ее окрестности и выполняется равенство limM→M0 f(M)=f(M0) т.е. предел функции в точке равен значению функции в этой точке.
Определение 4.8. Функция z = f (x, y) называется непрерывной в области R, если она непрерывна в каждой точке этой области.