14. Разложение рациональных дробей на сумму элементарных дробей

Алгоритм:

1. Если дробь неправильная, выделить целую часть, следующие пункты применить к остатку

2. Найти действительные корни знаменателя

• Если это многочлен степени 3 и выше, некоторые его корни стоит искать перебором делителей свободного члена.

• Когда найден хотя бы один корень x1, нужно разделить исходный многочлен на (x - x1).

• Пункты 1) и 2) нужно повторять до тех пор, пока будет получено квадратное уравнение, корни которого находят по школьным формулам. Если действительных корней нет - оставляют так.

• Если до квадратного уравнения дойти не получилось, нужно во-первых - уточнить условие (может, неверно переписано), во-вторых - есть целый раздел математики "решение уравнений высших степеней"

3. Представить знаменатель в виде произведения (x - x1)(x - x2)...

4. Получить сумму дробей, в знаменателе каждой из которых находится один из множителей предыдущего пункта, а в числителе - многочлен степени на 1 меньше, чем в знаменателе. Если некий корень оказался кратным степени m, то ему будет соответствовать m дробей, со знаменателями в степени от 1 до m

5. Привести полученные дроби к общему знаменателю и сложить

6. Приравнять полученную дробь к исходной правильной дроби из пункта 0

7. Приравнять коэффициенты при х в одинаковых степенях справа и слева от знака "="

8. Решить полученную систему уравнений

9. Подставить полученные коэффициенты в соответствующие дроби.

15. Интегрирование простейших иррациональных выражений

Интегрирование некоторых иррациональных

функций.

Интегралы вида где R −рациональная функция, p,q,...,s,t − целые числа, находятся с помощью подстановки где m –наименьшее общее кратное чисел q,...,t.

16. Определение определенного интеграла

Определенным интегралом от функции f (x) по промежутку [a;b] называется предел , к которому стремится интегральная сумма при этом процессе, если этот

предел существует и не зависит ни от способа разбиения отрезка, ни от выбора точек c_i :

Число a называется нижним пределом интегрирования, а число b ⎯ верхним пределом

интегрирования.

Рассмотрим фигуру, ограниченную графиком непрерывной, неотрицательной на промежутке [a;b] функции f(x), отрезком [a;b] оси X, и прямыми x = a; x = b. Такую фигуру называют криволинейной трапецией. На рисунке 2 криволинейная трапеция выделена штриховкой. Площадь S этой трапеции определяется формулой: . Если f(x) < 0 во всех точках промежутка [a;b] и непрерывна на этом промежутке , то площадь криволинейной трапеции, ограниченной отрезком [a;b] горизонтальной оси координат, прямыми x = a; x = b и графиком функции y = f(x), определяется формулой: : .

17. Основные свойства определенного интеграла(с док-вом)

1. Если f(x) и g(x) , - произвольные числа, то функция и справедливо равенство:

2. Если f(x) , то

3. Если f(x) и c , то f(x) , f(x) и справедливо равенство:

4. Если f(x) , и b>a, то справедливо неравенство:

5. Если f(x) и g(x) , и b>a, то справедливо неравенство:

6. Если f(x) и , , b>a, то выполняются неравенства:

7. Если f(x) , то , такое, что выполняется равенство:

Доказательство свойств.

1. 1) Напишем интегральную сумму для функции . Обозначим и . Тогда получим равенство: . Так как и то и по определению он равен что и доказывает свойство 1.

2. Напишем интегральную сумму для f(x): . Обозначим s=0,…,n и s=1,…,n.

Тогда и .

В интегральной сумме S заменим k=n-s:

По определению есть интегральная сумма для интеграла что и доказывает свойство 2.

3. Без доказательства.

4. Из неравенства: b>a, следует, что и

5. Так как то из свойств 1 и 4 следует, что

6. Так как то интегрируя эти неравенства, ввиду свойства 5, получим:

7. Так как f(x) , то f(x) (это будет доказано в следующем параграфе). Из свойства 6 следует, что где и По теореме о промежуточном значении непрерывной на отрезке функции такая, что или Замечание Это свойство обычно называют теоремой о среднем.