- •Вопрос 2:
- •Вопрос 9.
- •Вопрос 10.
- •11. Критерий существования седловых точек
- •Вопрос 12.
- •Вопрос 13
- •14. Принцип доминирования стратегий.
- •15. Теорема о сведении решения матричной игры к решению пары двойственных друг другу стандартных задач линейного программирования.
- •16. Игры с природой. Показатель благоприятности состояния природы. Риск игрока, принимающего решение. Матрица рисков. Принятие решений в условиях риска и неопределенности.
- •17. Критерий Лапласа оптимальности чистых и смешанных стратегий относительно выигрышей.
- •Критерий (крайнего пессимизма) Вальда оптимальности чистых и смешанных стратегий.
- •Максимаксный критерий (крайнего оптимизма) оптимальности чистых и смешанных стратегий.
- •Критерий пессимизма-оптимизма Гурвица оптимальности чистых стратегий относительно выигрышей.
- •Вопрос 21
14. Принцип доминирования стратегий.
Пусть имеем игру с матрицей m x n.
Каждой смешанной (в частности, чистой) стратегии игрока А поставим в соответствие строку
(11.1)
(размера 1 x n), элементами которой являются выигрыши , игрока А в ситуациях .
В силу формулы строку (11.1) можно представить так:
(11.2)
Откуда видно, что она является выпуклой комбинацией строк матрицы А (потому что коэффициенты p неотрицательны и в сумме дают 1).
Обратно, каждой выпуклой комбинации (11.2) строк матрицы А с коэффициентами поставим в соответствие смешанную стратегию игрока А.
Таким образом, между смешанными (в т.ч. и чистыми) стратегиями игрока А и выпуклыми комбинациями , , , , строк , матрицы А устанавливается взаимно-однозначное соответствие
(11.3)
Из (11.1) и (11.3) ясно, что каждой чистой стратегии , игрока А ставится во взаимно-однозначное соответствие k-я строка матрицы А.
Если для двух выпуклых комбинаций строк матрицы А
, , , (11.4)
и
, , , (11.5)
Выполняются неравенства
(11.6)
То говорят, что строка (11.5) доминирует строку (11.4), а строка (11.4) доминируется строкой (11.5). Таким образом, строка (11.5) - доминирующая строку (11.4), а строка (11.4) - доминируемая строкой (11.5).
Если каждое из неравенств (11.6) является равенством, то строки (11.4) и (11.5) называют дублирующими друг друга. Каждая из двух дублирующих строк является одновременно и доминируемой, и доминирующей другую.
Если каждое из неравенств (11.6) является строгим, то говорят, что строка (11.5) строго доминирует строку (11.4), а строка (11.4) строго доминируется строкой (11.5), или строка (11.5) является строго доминирующей строку (11.4), а строка (11.4) является строго доминируемой строкой (11.5).
Аналогичная терминология используется и для соответствующих стратегий игрока А. Например, если строка (11.5) доминирует строку (11.4), то говорят, что стратегия Р" доминирует стратегию, Р’
Так как элементами строк, соответствующих по (11.3) смешанным стратегиям, являются выигрыши игрока А (см. (11.1)), то из данных определений понятно, что для игрока А дублирующие стратегии равнопредпочтительны, а доминируемая не дублирующая стратегия заведомо для него невыгодна.
Аналогично доказывается для игрока B, только в данном случае должны выполняться неравенства
(11.12)
15. Теорема о сведении решения матричной игры к решению пары двойственных друг другу стандартных задач линейного программирования.
Сформулируем теорему, устанавливающую сведение решения любой матричной игры к решению пары двойственных задач линейного программирования специального вида, при этом будем предполагать, что все элементы матрицы игры A положительны.
. (*)
Теорема: Решение матричной игры m n с матрицей A, элементы которой удовлетворяют условию (*) эквивалентно решению следующей пары двойственных друг другу стандартных задач линейного программирования.:
Найти при ограничениях
; (**)
Найти при ограничениях
; (***)
Точнее говоря, если - оптимальное решение задачи (**), а - оптимальное решение задачи (***), то
Цена игры с матрицей A
Оптимальная стратегия игрока A
Оптимальная стратегия игрока B И обратно.
Доказательство: