- •Вопросы с выводом формулы и доказательством
- •Формулы полной вероятности.
- •4. Теорема сложения вероятностей несовместных случайных событий.
- •Теорема сложения вероятностей совместных случайных событий
- •6. Теорема умножения вероятностей для любых событий.
- •7. Формула Бернули.
- •8. Вывод формулы математического ожидания для биномиального распределения.
- •9. Вывод формулы дисперсии для биномального распределения.
- •10. Вероятность появления хотя бы одного события .
Вопросы с выводом формулы и доказательством
Формулы полной вероятности.
Определение:
Набор событий Н1, Н2,…,Нn называется полной группой событий, если они попарно несовместны и их сумма составляет достоверное событие:
Н1, Н2,…,Нn = Ω и Ɏ i, j: Hi*Hj = Ø.
Любое событие А может появиться вместе с одним из событий Н1, Н2,…,Нn, образующих полную группу событий. События Н1, Н2,…,Нn называются гипотезами для события А.
Справедлива следующая теорема (формула полной вероятности):
Пусть события Н1, Н2,…,Нn образуют полную группу событий и Р(Hi)>0. Тогда для любого события А:
Р(А) = (1)
Доказательство:
В силу свойств операций над событиями
А=А*Ω = А*( Н1, Н2,…,Нn) = А* Н1 + А*Н2+…+А*Нn
Поскольку, по условию теоремы, события попарно несовместны, то и события тоже попарно несовместны. Тогда, применяя теорему сложения, получим
(2)
Теперь, используя теорему умножения для зависимых событий, каждое слагаемое в ф.(2) можно подставить в следующем виде:
(3)
Из соотношений ф. (2) и (3) получим утверждение теоремы (1).
Доказать свойство дисперсии D(C*X) =C2*D(X)
Для любой случайной величины Х и постоянной С справедлива формула:
Доказательство:
Из определения дисперсии имеем
D(CX) = M(CX - M(CX))2
Применяя свойство математического ожидания, получаем
M(CX - M(CX))2 = M(CX – С*M(X))2 = M(C2 (X - M(X)2) = C2M(X - M(X))2 = С2*D(X).
т.е.
D(CX) = C2*D(X)
Доказать свойство дисперсии: D(X -Y) = D(X) + D(Y)
Теорема:
Если случайные величины Х и У независимы, то
D(X -Y) = D(X) + D(Y) (1)
Доказательство:
Сначала докажем формулу:
D(X +Y) = D(X) + D(Y) (2)
Из определения дисперсии имеем
D(X + Y) = М(Х + У - М(Х + У))2
Применяя свойство суммируемости математического ожидания, получаем
D(X + Y) = М(Х + У - М(Х) – М(У))2 = М((Х - М(Х)) + (У - М(У))2 =
= М((Х - М(Х))2 + 2* (Х - М(Х))*( У - М(У)) + (У - М(У))2) =
= М((Х - М(Х))2 + М(2*(Х – М(Х))*(У – М(У))) + М(У-М(У))2 =
= D(X) + D(Y) + M(2*(X – M(X))*(Y- M(Y)). (3)
Осталось установить, что
M(2*(X – M(X))*(Y- M(Y))= 0.
Из независимости случайных величин Х и У следует независимость случайных величин:
(Х –М(Х)) и (У – М(У)).
Тогда, в силу свойства математического ожидания, для независимых величин получаем
М(2*(Х – М(Х))*(У – М(У))= 2*М (Х - М(Х))*( У - М(У))=
= 2* (М(Х) - М(Х))*( М(У) - М(У))=2*0*0 = 0
Отсюда и из формулы (3) получаем
D(X +Y) = D(X) + D(Y)
Из последней формулы следует
D(X -Y) = D(X+(-Y))=D(X)+D(-Y)=D(X)+(-1)2*D(Y) = D(X) + D(Y).
4. Теорема сложения вероятностей несовместных случайных событий.
Определение. Два события А и Б называются несовместными, если их совместное наступление невозможно, т.е. нет такого исхода случайного эксперемента одновременно принадлежащего событию А и собитию Б.
Для несовместных событий: А*Б=Ø, вероятность совместного наступления Р(А*Б)=0.
Теорема. Для двух несовместных событий А и Б (А*Б=Ø), вероятность события наступления хотя бы одного из них (А+Б), вычесляется по формуле:
Р(А+Б)=Р(А)+Р(Б)
Доказательство. Эту формулу можно вывести из формулы теоремы сложения двух совместных событий:
Р(А+Б)=Р(А)+Р(Б)-Р(А*Б)
Учитывая, что Р(А*Б)=0 для несовместных событий, отсюда получаем утверждение теоремы.
Замечание 1. Утверждением теоремы является содержание аксиома 3 теории вероятности, т.е. доказательство не требуется.
Замечание 2. Если события А1, А2,…, Аn несовместны, т.е. Аi*A= Ø для любых i≠j, то Р(А1+А2+…+Аn) = Р(А1+А2+…+Аn)