Теорема сложения вероятностей совместных случайных событий
Теорема:
Для любых совместных событий А и В, вероятность наступления хотя бы одного из них вычисляется по формуле:
Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(А*В)
Доказательство:
В силу правил действия над событиями, справедливы следующие представления
А+В = А+(В-А)
и
В=А*В+(В-А),
где события А и (В-А), а также А*В и (В-А) несовместны. Поэтому, в силу аксиомы 3 теории вероятности, имеем
Р(А+В) = Р(А+(В-А))=Р(А) + Р(В-А)
и
Р(В)=Р(А*В+(В-А))
Исключая из этих двух равенств Р(В-А):
Р(В-А)=Р(В)-Р(А*В)
и
Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(А*В)
Для событий А, В и С:
Р(А+В+С)=Р(А)+Р(В)+Р(С)-Р(А*В)-Р(А*С)-Р(С*В)+Р(А*В*С)
6. Теорема умножения вероятностей для любых событий.
Для теоремы умножения вероятностей прежде надо выводить понятие условной вероятности.
Определение (Аксиома 4). Вероятность наступления события А при условии, что событие Б произошло называется условной вероятностью события А при условии Б, обозначается – Р(А|Б) и определяется с помошью формулы:
Р(А|Б)= Р(А*Б)/ Р(Б), если Р(Б)>0.
Теорема (формулы умножения вероятностей для двух событий).
Для любых двух событий А и Б вероятность произведения (совместного наступления) события А*Б вычисляется по формуле:
Р(А*Б)=Р(А)*Р(Б|А),
Или Р(А*Б)=Р(Б)*Р(А|Б)
Доказательство. Из определения условной вероятности Р(Б|А) или (А|Б) следуют эти формулы.
Теорема (формулы умножения вероятностей для любых событий).
Для любых событий А1, А2,…, Аn
Р(А1*А2*…*Аn) =Р(А1)*Р(А2|А1)*Р(А3|А1*А2)*…* Р(Аn|А1*А2*…An)
Доказательство. Вывод этой формулы проводится методом математической индукции исходя из первых двух выражений:
Р(А1*А2*…*Аn-1*An)= Р(А1*А2*…*Аn-1)* Р(А1*А2*…*Аn-1)=
= Р(А1|А2)*Р(А3|А1*А2)*…* Р(Аn-1|А1*А2*…An-2)* Р(Аn|А1*А2*…An-1)
7. Формула Бернули.
Определение (схема Бернули). Проводятся n€N последовательных независимых одинаковых экспериментов, в каждом из которых выделяется одно и тоже событие А, которое наступает с одинаковой вероятностью, обозначим ее Р=Р(А). Вероятность дополнительного события обозначим q.
Тогда, из условий: для любыого события А:
Р(А)+Р(
)=1
Следует, что q=1-р.
Наступление события А называют успехом, а ненаступление – неудачей.
Обозначим через μn число экспериментов в которых событие А наступало в схеме Бернулли с параметром n и р.
Обозначим:
Рn(m)= Рn(μn=m)=Р(событие А наступило m раз в n эксперемнтах).
Теорема (формула Бернулли). В схеме Бернулли с параметрами n и р, вероятность числа успехов (μn) вычисляется по формуле:
Рn(m)=
*pn*qn-m
Д
оказательство.
Результат одной серии из n
экспериментов схемы Бернулли можно
представить некоторой последовательностью
событий А и
с различными чередованиями:
ωi=A* * *А*…*А где m раз наступило A, (n-m) наступило .
n раз
Рассмотрим пространство элементарных исходов Ω элементы, которого являются всевозможными взаимоисключающими исходами ωi.
Методом комбинации можно установить, что:
(размещение
из 2 по n).
Число исходов в Ω в каждом из которых событие А появляется m раз и не появляется (n-m) раз равно (сочетание из n по m).
Вероятность каждого такого исхода одинакова и в силу теоремы умножения вычисляется по формуле:
Р(ωi)= Р(ωj)= pn*qn-m
Тогда согласно теоремы сложения:
Рn(m)= Рn(μn=m)=Р(событие А наступило m раз в n эксперемнтах)=
= *pn*qn-m.